PENERAPAN FUNGSI LINIER

7.3. Penerapan Fungsi Linier Dalam Ilmu Ekonomi

1. Pengaruh Pajak Spesifik ( pajak tetap ) terhadap Keseimbangan Pasar

 Pembebanan Pajak Akan Mempengaruhi Keseimbangan Pasar.

Pajak yang dibebankan atas penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang akan naik, karena produsen akan berusaha mengalihkan beban pajak sebagian kepada konsumen  sehingga akan mempengaruhi keseimbangan pasar.

 Pembebanan pajak tetap sebesar t pada setiap unit barang yang akan dijual, menyebabkan kurva penawaran bergeser ke atas sejajar.

Jika sebelum pajak pers Penawaran  P = a + 1 Q ,maka
b b

setelah pajak pers. Penawaran menjadi  P = a + 1 Q + t
b b
Dimana P = harga dan Q = Jumlah barang

Contoh :
Fungsi permintaan suatu barang  P = 15 – Q
Fungsi penawaran suatu barang  P = 3 + 0,5 Q
Kepada barang tsb dikenakan pajak tetap sebesar Rp. 3 per unit
Tentukan titik keseimbangan (Harga dan jumlah barang) sebelum dan sesudah dibebani pajak ?
Jawab :
Titik Keseimbangan Sebelum pajak  Supply = Demand
15 – Q = 3 + 0,5Q
15 – 3 = Q + 0,5Q
12 = Q
Q = = = 8
P = 15 – Q = 15 – 8 = 7
 Jadi keseimbangan sebelum ditetapkannya pajak, terjadi pada tingkat harga Rp. 7,00 dan jumlah permintaan barang 8 unit

Setelah ada pajak Fungsi permintaan tetap P = 15 – Q
Fungsi penawaran berubah P = 3 + 0,5 Q + t
P = 3 + 0,5 Q + 3
P = 6 + 0,5 Q

Titik keseimbangan setelah ada pajak S = D
15 – Q = 6 + 0,5Q
15 – 6 = Q + 0,5Q
9 = Q
Q ‘ = = = 6
P ‘ = 15 – Q = 15 – 6 = 9
 Jadi keseimbangan setelah ditetapkannya pajak, terjadi pada tingkat harga Rp. 9,00 dan jumlah permintaan barang 6 unit

Berapa beban pajak yang ditanggung masing-masing oleh konsumen, produsen ?
Berapa jumlah seluruh pajak yang diterima pemerintah ?

 Beban pajak yang ditanggung konsumen = ( P’ – P ) = 9 – 7 = 2
 Beban pajak yang ditanggung produsen = t – (P’ – P) = 3 – 2 = 1
 Jumlah pajak yang diterima pemerintah dari seluruh transaksi
= Q’ x t = 6 x 3 = 18

2. Pengaruh Pajak Proporsional terhadap Keseimbangan Pasar

 Besarnya pajak ditentukan berdasarkan persentase tertentu dari harga jual.

 Pajak proporsional menyebabkan kurva penawaran bergeser ke atas tetapi dengan kemiringan yang lebih besar dari sebelum pajak.

Jika sebelum pajak pers.penawaran  P = P = a + 1 Q , maka
b b

Setelah pajak pes. Penawaran menjadi  P = a + 1 Q + t P
b b

Dimana besarnya pajak sebesar t % dari harga jual

Contoh : Fungsi permintaan suatu barang  P = 15 – Q
Fungsi penawaran suatu barang  P = 3 + 0,5 Q Barang tsb dikenakan pajak sebesar 25 % dari harga jual
( berarti t = 0,25 P )
• Tentukan titik keseimbangan (Harga dan jumlah barang) sebelum dan sesudah dibebani pajak proporsional ?

Sebelum pajak hitung sendiri lihat depan P = 7; Q = 8
Sesudah pajak fungsi permintaan P = 15 – Q
Fungsi penawaran P = 3 + 0,5 Q + t
P = 3 + 0,5 Q + 0,25 P
P – 0,25 P = 3 + 0,5 Q
0,75 P = 3 + 0,5 Q
P = P = 4 + Q
Keseimbangan Supply = Demand
15 – Q = 4 + Q
15 – 4 = Q + Q
11 = Q Q = = =
P = 15 – Q P = 15 – =

 Berapa beban pajak yang ditanggung konsumen dan produsen ?
 Berapa jumlah pajak yang diterima pemerintah ?
Jumlah pajak yang diterima pemerintah 0,25 x = 2,1 / unit


3. Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar

 Subsidi merupakan kebalikan dari pajak, karena subsidi yang diberikan atas penjualan barang menyebabkan harga jual menjadi lebih rendah.
 Pengaruh subsidi thd kurva penawaran  menggeser kurva ke bawah sejajar.

Jika fungsi penawaran sebelum subsidi  P = - a + b Q
Fungsi Penawaran setelah subsidi  P = - a + b Q – s
Dimana s = besarnya subsidi

 Secara teknis cara menghitungnya sama dengan pajak, hanya berlawanan tanda

4. Keseimbangan Pasar Kasus Dua Macam Barang

Permintaan suatu barang seringkali tidak hanya dipengaruhi oleh harga barang yang bersangkutan, tetapi juga dipengaruhi oleh harga barang lainnya.
Seperti : Barang substitusi : kopi dan teh
Barang komplementer : gula dan kopi

Q x = f ( P x , Py ) dan Qy = g ( Py , P x )
dimana P x = harga barang x per unit, Py = harga barang y per unit

Contoh : Fungsi permintaan barang x  Q x = 10 – 4 P x + 2 Py
Fungsi penawaran barang x  Q x = - 6 + 6 P x
. Fungsi permintaan barang y  Q y = 9 – 3 P y + 4 Px
Fungsi penawaran barang y  Q y = - 3 + 7 P y

 Berapa keseimbangan harga dan jumlah masing-masing barang ?

Keseimbangan barang x  Demand x = Supply x
10 – 4 P x + 2 Py = - 6 + 6 P x
16 – 4 P x - 6 P x + 2 Py = 0
2 Py – 10 Px = - 16 -------------- pers. 1

Keseimbangan barang y  Demand y = Supply y
9 – 3 P y + 4 Px = - 3 + 7 P y
9 + 3 – 3 Py – 7 Py + 4 P x = 0
4 P x – 10 Py = - 12 ---------- pers. 2

dari pers1 dan 2  lakukan substitusi, atau eliminasi, atau determinasi, untuk mendapatkan nilai P x , P y dan Q x , Q y

5. Analisis Titik Impas

TR ( Total Revenu ) = TC ( Total Cost )
Total Penerimaan = Total Biaya
TFC = Total Fix Cost P.Q = TFC + TVC
TVC = Total Variable Cost P.Q = a + b Q
Vc = Variable cost per unit P Q - b Q = a
P = Harga per unit (P – b) Q = a

Q = __a__ atau Q = TFC
P – b P – vc


Contoh : Jika biaya total yang dikeluarkan perusahaan ditunjukkan oleh fungsi TC = 20.000 + 100 Q dan penerimaan totalnya ditunjukkan oleh fungsi TR = 200 Q.

 Pada tingkat produksi berapa unit kah, perusahaan ini berada pada titik impas (tidak untung dan tidak rugi) ?
 Apa yang terjadi jika perusahaan tersebut berproduksi sebanyak 300 unit, untung atau rugi ? Berapa besarnya ?

Titik Impas  TR = TC
200 Q = 20.000 + 100 Q
200 Q – 100 Q = 20.000
100 Q = 20.000  Q = 200
Jadi perusahaan mengalami titik impas (tidak untung dan tidak rugi) jika memproduksi 200 unit.
Jika Q = 300  TR = 200 Q = 200 (300) = 60.000
TC = 20.000 + 100 Q = 20.000 + 100 (300) = 50.000
Keuntungan ( π ) = TR – TC
Keuntungan ( π ) = 60.000 – 50.000 = 10.000
Jadi jika perusahaan memproduksi sebanyak 300 unit, maka akan mendapat keuntungan sebesar Rp. 10.000,00

6. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan


 Dalam ekonomi makro  pendapatan dialokasikan ke dalam konsumsi dan ditabung
 Pendapatan = Y, Konsumsi = C, Tabungan = S, yang hubungannya diperlihatkan oleh garis lurus.

 Fungsi Konsumsi  C = Co + c Y
 Fungsi Pendapatan Y = C + S
 Fugsi Tabungan  S = So + s Y

c = Marginal Propensity to Consume (MPC)
s = Marginal Propensity to Save (MPS)
MPC + MPS = 1 atau c + s = 1

Contoh :
Konsumsi diperlihatkan oleh fungsi sbb : C = 30 + 0,8 Y
Bagaimana fungsi tabungannya ?
Jika tabungannya sebesar 20  berapa besarnya konsumsi ?

Y = C + S
Y = 30 + 0,8 Y + S
Y – 30 – 0,8 Y = S  S = - 30 + (1- 0,8) Y
S = - 30 + 0,2 Y  fungsi tabungan



Jika S = 20
S = - 30 + 0,2 Y
20 = - 30 + 0,2 Y  0,2 Y = 20 + 30
0,2 Y = 50  Y = 50 = 250  Y = 250
0,2

Y = C + S
250 = C + 20 ------------ C = 250 – 20  C = 230

>>Baca Selengkapnya

BAB III. SISTEM BILANGAN

Hubungan Bilangan-bilangan nyata ( Riil ) secara relatif
Tanda – Tanda Ketidaksamaan
 Tanda  melambangkan “lebih kecil dari” / dibawah / kurang dari
 Tanda  melambangkan “lebih besar dari” / diatas / melebihi
 Tanda  melambangkan “lebih kecil dari atau sama dengan” / tidak lebih dari / paling banyak / maksimal
 Tanda  melambangkan “lebih besar dari atau sama dengan” / paling sedikit / minimal

HUBUNGAN PERBANDINGAN ANTAR BILANGAN


1. Jika a  b, maka - a  - b

sedangkan jika a  b , maka – a  - b

2. Jika a  b dan x  0 , maka x a  x b dan sebaliknya

3. Jika a  b dan x  0 , maka x a  x b dan sebaliknya

4. Jika a  b dan c  d , maka a + c  b + d dan sebaliknya


OPERASI BILANGAN


1. Kaidah komutatif a + b = b + a dan a x b = b x a

2. Kaidah Asosiatif ( a + b ) + c = a + ( b + c )

( a x b ) x c = a x ( b x c )



3. Kaidah Pembatalan Jika a + c = b + c , maka a = b

Jika a c = b c dan ( c  0 ) , maka a = b

4. Kaidah Distributif a ( b + c ) = a b + a c

5. Unsur Penyama a  0 = a a x 1 = a a : 1 = a

6. Kebalikan a + ( - a ) = 0 a x 1 = 1
a


OPERASI TANDA


1. Operasi Penjumlahan ( + a ) + ( + b ) = ( + c )
( - a ) + ( - b ) = ( - c )
( + a ) + ( - b ) = ( + c ) jika I a I > I b I
( + a ) + ( - b ) = ( - d ) jika I a I < I b I
( - a ) + ( + b ) = ( + c ) jika I a I < I b I
( - a ) + ( + b ) = ( - d ) jika I a I > I b I

2. Operasi Pengurangan
3. Operasi Perkalian
4. Operasi Pembagian
5. Operasi Bilangan Pecahan
 pecahan biasa
Pecahan desimal
 Suku terbagi ( numerator )
Suku pembagi ( denominator )
 Pecahan layak
Pecahan tak layak
Pecahan kompleks
Bilangan campuran
6. Operasi Pemadanan

SEDERHANAKAN BILANGAN PECAHAN BERIKUT INI

1.



BAB IV PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA


4.1. Pangkat

Pangkat dari sebuah bilangan Adalah
Suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara beruntun.
Pangkat untuk meringkas bilangan
81 = 9 x 9 = 9 ² 1.000 = 10 x 10 x 10 = 10 ³
1.000.000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 10

4.2. Akar

A k a r adalah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya

9 ² = 9 x 9 = 81 maka 81 = 9 8 = 2 x 2 x 2 = 2
9 = basis , 2 = pangkat 8 = 2 , basis = 2 , pangkat = 3

4.3. Logaritma

Logaritma adalah kebalikan dari proses pemangkatan dan atau pengakaran

X = m x = pangkat dan m = basis log m = a

X = m = x log m = a
Pangkat Akar Logaritma
4³ = 64 = 4 log 64 = 3
5 = 25 = 5 log 25 = 2
10 = 100 = 10 log 100 = 2 log 100 = 2
Logaritma berbasis 10 biasanya basisnya tidak ditulis

KAIDAH LOGARITMA


1. X Log x = 1 karena, x 1 = x 10 log 10 = 1
2. X Log 1 = 0 karena, x 0 = 1 10 log 1 = 0
3. X Log x a = a karena, x a = x a 10 log 10 2 = 2
4. x X Log m = m 8 8 log 512 = 512
5. X Log m.n = x log m + x log n
3 log (243) (27) = 3 log 243 + 3 log 27 = 5 + 3 = 8
6. x log = x log m – x log n
10 log = 10 log 100 – 10 log 1000 = 2 - 3 = -1
7. x log m . m log x = 1
3 log 81 . 81 log 3 = 3 log 3 4 . 81 log 81 ¼ = 4 x ¼ = 1

Contoh Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma

1. Hitung x untuk persamaan 3 x + 1 = 27 → log 3 x + 1 = log 27
X + 1 log 3 = log 27
X + 1 =
2. (0,32 + x) 15 = 789
log (0,32 + x) 15 = log 789  15 log (0,32 + x) = 2,8971
log (0,32 + x) =  log (0,32 + x) = 0,1931
(0,32 + x) = Antilog 0,1931 → 10 0,1931
0,32 + x = 1,559911644
x = 1,56 – 0,32 = 1,24
3. m n = (m n)
5 + 2 = (5 + 2) = 7
4. ( ) ( ) = . = = = 8
5. = = = 5
6. = = = =

>>Baca Selengkapnya

BAB VIII. FUNGSI NON LINIER

8.1. Pendahuluan

Fungsi non linier merupakan model yang tidak kalah pentingnya dibandingkan dengan fungsi linier dalam penerapan ekonomi, karena sebagian dari model ekonomi linier yang ada, sesungguhnya merupakan linierisasi dari model non linier.
Ada 4 macam bentuk fungsi non linier yang paling sering dijumpai dalam analisis ekonomi, yaitu : - Fungsi Kuadrat
- Fungsi Kubik
- Fungsi Eksponensial
- Fungsi Logaritma
Diantara ke empat fungsi nonlinier tersebut yang paling sering digunakan adalah fungsi kuadrat.

8.2. Fungsi Kuadrat

Fungsi Kuadart adalah fungsi yang mempunyai pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua.
Gambar fungsi kuadrat bisa berupa : - Lingkaran
- Elips
- Parabola
- Hiperbola
Tetapi dalam penerapan ekonomi, yang paling sering digunakan adalah fungsi kuadrat yang berbentuk PARABOLA.

Bentuk yang lebih umum dari fungsi kuadrat :

a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + p X Y + e = 0
dimana a atau b  0

sebuah fungsi kuadrat jika mempunyai ciri-ciri berikut ini maka :
Jika p = 0 dan a = b  0 bentuk kurvanya Lingkaran
p 2 – 4 a b < 0 ; a  b dan tanda sama bentuk kurvanya Elips
p 2 – 4 a b > 0 ; a & b tanda berlawanan bentuk kurvanya Hiperbola

p 2 – 4 a b = 0 bentuk kurvanya Parabola
berati jika salah satu saja yaitu jika a = 0 atau b = 0 tetapi tidak keduanya, maka kurvanya akan berbentuk Parabola

 LINGKARAN

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak tetap terhadap sebuah titik tertentu yang disebut pusat.
Bentuk umum persamaan lingkaran :

a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0

Lalu ubah bentuk persamaan menjadi ( X – i ) 2 + ( Y – j ) 2 = r 2
Dimana : i = ; j = dan r =
Maka i = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu Y
j = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu X
r = jari-jari lingkaran

Lingkaran bisa digambarkan jika nilai r 2 > 0
Titik potong lingkaran pada sumbu koordinat dapat dicari dengan memisalkan masing-masing X = 0 dan Y = 0 secara bergantian.
Jika i > r  lingkaran tidak memotong sumbu Y
j > r  lingkaran tidak memotong sumbu X

Contoh :
3 X 2 + 3 Y 2 – 24 X – 18 Y = 33 : 3
X 2 + Y 2 – 8 X – 6 Y = 11
i = = = 4 j = = = 3
dan r = = = = 6
jadi lingkaran tersebut mempunyai titik pusat pada sumbu koordinat
( 4 ; 3 ) dengan jari-jari lingkaran = 6













 ELIPS

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Elips mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus. Sumbu yang panjang disebut Sumbu Mayor. Dan yang pendek disebut Sumbu Minor. Titik potong antara kedua sumbu elips tersebut merupakan pusat elips ybs.

Bentuk Umum Persamaan Elips :
a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0

dimana : a tandanya sama dengan b tetapi nilai a b

Pusat dan jari-jari elips dirumuskan sebagai berikut :
jika r = r maka akan menjadi lingkaran.

Contoh :
Tentukan pusat , jari-jari dan perpotongan kurva elips dengan masing-masing sumbu koordinatnya ( sumbu X dan Y ) dari persamaan elips berikut :

8 X 2 + 2 Y 2 - 32 X - 12 Y + 18 = 0 : 2
4 X 2 + Y 2 - 16 X - 6 Y = - 9
4 X 2 - 16 X + Y 2 - 6 Y = - 9
4 X 2 - 16 X + k + Y 2 - 6 Y + k = - 9 + k + k
(4 X 2 - 16 X + 16) + (Y 2 - 6 Y + 9) = - 9 + 16 + 9
4 (X – 2) 2 + (Y – 3) 2 = 16 : 16
+ = 1  + = 1
Dengan demikian : i = 2 dan j = 3 r = 2 dan r = 4
Berarti : pusat elips ada pada titik ( 2 ; 3 )
Karena r < r maka sumbu mayor elips // sumbu vertikal Y
r adalah jari-jari pendek dan r adalah jari-jari panjang

Hitunglah : pada titik koordinat berapakah terjadi perpotongan kurva elips dengan sumbu X dan sumbu Y.











 HIPERBOLA

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Hiperbola mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus dan sepasang asimtot. Perpotongan antara sumbu-sumbu simetri (antara asimtot-asimtot) merupakan pusat hiperbola.

Bentuk umum persamaan hiperbola :

a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0 ; dimana a dan b berlawanan tanda

Pusat hiperbola dapat dicari dengan cara :

dimana sumbu lintang // sumbu X

atau dimana sumbu lintang // sumbu Y

dimana ( i , j ) adalah koordinat titik pusat hiperbola

Jika nilai m = n maka asimtotnya akan saling tegak lurus, dan sumbu lintangnya tidak lagi sejajar salah satu sumbu koordinat, dan hiperbolanya disebut hiperbola sama sisi.

 PARABOLA

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direktriks. Setiap parabola mempunyai sebuah sumbu simetri dan sebuah titik ekstrim.






Persamaan parabola :

 y = a X 2 + b X + c jika sumbu simetri // sumbu vertikal (sumbu y)
 X = a Y 2 + b Y + c jika sumbu simetri // sumbu horisontal (sumbu x)

X Y
Titik Ekstrim :
Jarak titik ekstrim Jarak titik ekstrim
Pada sumbu Y pada sumbu X

Contoh : Tentukan titik ekstrim dan perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu x dan y) dari parabola berikut :
Y = - X 2 + 6 X – 2

Sumbu simetri sejajar sumbu Y
Karena nilai a = - 1 < 0 ; maka parabolanya menghadap ke bawah.
Titik ekstrimnya terletak di atas atau titik maksimum, dengan titik
koordinat :

= = = ( 3 , 7 )

Perpotongan dengan sumbu Y terjadi pada saat X = 0  Y = - 2

Perpotongan dengan sumbu X terjadi pada saat Y = 0 

0 = - X 2 + 6 X – 2

Dengan menggunakan rumus a b c diperoleh

X = 5,65 dan X = 0,35

y
(3,7)
7


y = -x2 + 6x - 22

x = 3 sumbu simetri

x
0 0,35 3 5,65

-2

Latihan : Pada Buku Dumairy hal 141 – 142
Nomor : 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 9 ; 10





8.2. Penerapan Ekonomi Fungsi Non Linier

1. Fungsi Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar


Analisisnya sama dengan persamaan
Linier, hanya bentuk fungsinya tidak
Linier.


Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan  Q d = 19 – P 2
Q s = - 8 + 2 P 2
 Berapa harga keseimbangan dan jumlah barang keseimbangan ?
Jawab : titik Keseimbangan terjadi pada saat Q d = Q s
19 – P 2 = - 8 + 2 P 2
19 + 8 = 2 P 2 + P 2
27 = 3 P 2
P 2 = 9  P =  9 =  3
Jika nilai P = 3  Q = 19 – P 2 = 19 – 3 2 = 19 – 9 = 10
Jadi harga yang terjadi pada titik keseimbangan Rp 3,00 dan jumlah permintaan pada titik keseimbangan 10 unit.

 Jika dikenakan pajak spesifik ( pajak tetap ) sebesar t = 1
 Berapa harga dan jumlah barang pada titik keseimbangan?

Fungsi penawaran setelah pajak Q s = - 8 + 2 ( P – t ) 2
Q s = - 8 + 2 ( P – 1) 2
Q s = - 8 + 2 ( P 2 – 2 P + 1 )
Q s = - 8 + 2 P 2 – 4 P + 2
Q s = - 6 + 2 P 2 – 4 P
Titik keseimbangan setelah kena pajak  Q d = Q s yg baru
19 – P2 = - 6 + 2 P2 – 4 P
0 = 2 P2 + P2 – 4 P – 6 – 19
0 = 3 P2 – 4 P – 25  3 P2 – 4 P – 25 = 0
Untuk mencari nilai P gunakan rumus abc  X 12 =
P12 =  P12 =

P12 =  P12 =  P1 = = 3,63 (yang dipilih)
 P2 = = - 2,2967
Q d = 19 – P 2 = 19 – ( 3,63 ) 2 = 19 – 13,1769 = 5,8231 6

Jadi harga keseimbangan setelah ada pajak Rp. 3,63 dan jumlah permintaan setelah ada pajak 6 unit

2. Penerapan Fungsi non Linier dari Fungsi Biaya

Bentuk non linier dari fungsi biaya  Fungsi Parabola
 Fungsi Kubik
 Biaya Tetap ( FC ) = konstanta
 Biaya Variabel ( VC ) = f ( Q )
 Biaya Total ( TC )  C = FC + VC = k + f ( Q )
 Biaya Marginal =
a). Fungsi Biaya Total  TC = a Q 2 – b Q + c  Fungsi Parabola












b). Fungsi Biaya Total  TC = a Q 3 – b Q 2 + c Q + d  Fungsi Kubik





Kasus : Biaya total TC = 2 Q 2 – 24 Q + 102 Parabola
 Pada tingkat produksi berapa unit, biaya total ini minimum ?
 Hitung biaya total minimum ?
 Hitung biaya tetap, biaya variabel, biaya rata-rata, Biaya tetap rata-rata, biaya variable rata-rata ?
 Jika produksi dinaikkan sebesar 1 unit, berapa besarnya biaya marginal ?
TC minimum titik ekstrim parabola
Q pada TC minimum = = = = 6 unit
TC (Biaya Total) pada produksi minimum = 2 Q 2 – 24 Q +102
= 2 (6) 2 – 24 (6) + 102 = 30
TC minimum pada ordinat titik ekstrim parabola.
TC total minimum = = = 30
Pada Q = 6
FC = 102
VC = 2Q 2 – 24Q = 2 ( 6 ) 2 – 24 ( 6 ) = - 72

3. Fungsi Penerimaan, Keuntungan dan Kerugian serta Titik Impas dari Fungsi Non Linier

Fungsi penerimaan bentuk umum fungsi parabola menghadap ke bawah pada Produsen di pasar monopoli.
Sedang bentuk fungsi penerimaan akan linier untuk produsen di pasar persaingan sempurna

TR = Q X P = f (Q) total penerimaan
= AR rata-rata penerimaan
= MR penerimaan marginal












Dimana T I = titik impas
Besar kecilnya keuntungan diperlihatkan oleh besar kecilnya selisih, positif antara TR dan C
Keuntungan maximum tidak selalu terjadi pada saat TR maksimum.

Contoh : Fungsi permintaan yang dihadapi seorang produsen monopolis P = 30 – 1,5 Q.
 Bagaimana persamaan penerimaan totalnya ?
 Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum dan berapa besarnya penerimaaan total ?

TR = Q x P = Q x ( 30 – 1,5 Q ) = 30 Q – 1,5 Q 2 parabola
TR Maksimum pada titik ekstrim parabola
TR Maks pada Q = = = = 10
TR Maks 30 Q – 1,5 Q 2
30 (10) – 1,5 (102) = 300 – 150 = 150  bisa juga dari rumus ( )
 Jika biaya total diperlihatkan oleh TC = 0,25 Q 3 – 3 Q 2 + 7Q + 20
Hitunglah ke an perusahaan, jika terjual barang sebanyak 10 dan 20 unit.
= TR - TC
= ( 30 Q – 1,5Q 2 ) – ( 0,25 Q 3 – 3 Q 2 + 7Q + 20 )
= 30 Q – 1,5 Q 2 - 0,25 Q 3 + 3 Q 2 - 7Q – 20
= - 0,25 Q 3 + 1,5 Q 2 + 23 Q – 20

Pada saat Q = 10 = - 0,25 (10) 3 + 1,5 (10) 2 + 23 (10) – 20
= - 250 + 150 + 230 – 20
= 110

 Jadi keuntungan perusahaan, jika barang terjual sebanyak 10 unit adalah sebesar Rp. 110,00
Pada saat Q = 20 = - 0,25 (20) 3 + 1,5 (20) 2 + 23 (20) – 20
= - 2000 + 600 + 460 – 20
= - 960

 Jadi perusahaan jika barang terjual sebanyak 20 unit, maka perusahaan akan rugi sebesar Rp. 960,00

4. Fungsi Eksponensial

 Kurvanya ada di kuadran I dan II pada sistem koordinat
Bentuk sederhana : y = n x n > 0
Bentuk umum : n e k x + C n 0 k,c = konstanta
Kurvanya asimtotik terhadap garis y = c

Titik potong kurva eksponensial = y = n e k x + C






Pada sumbu x { ln ; 0 } dimana y = 0
Pada sumbu y { 0 ; n + c } dimana x = 0

Contoh : - Tentukan titik potong kurva ekponensial y = 2 e 0,5 x – 4 pada masing-masing sumbu koordinat dan gambarkan kurvanya
- Hitunglah f (3)
Titik potong sumbu x l n = 2 ln = 2 (0,69) = 1,39.
Titik potong sumbu y n + c = 2 – 4 = - 2
Nilai f (3)  X = 3 y = 2 e 0,5 (3) – 4 y = 2 e 1,5 – 4
y = 2 (4,48) – 4 = 4,96










5. Fungsi Logaritmik

Merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial, yang variable bebasnya merupakan bilangan logaritma
Bentuk sederhana : y = n log x n > 0
n 0
Bentuk umum : y = a ln (1+x) + b x > -1
Kurvanya ada disebelah kanan dan asimtotik terhadap garis x = -1
Titik potong dengan sumbu –x ; y = 0 { e – ( ) – 1 ; 0 }
Titik potong dengan sumbu – y ; x = 0 { 0 ; b }






latihan : Tentukan titik potong kurva logaritmik y = 2 ln ( 1 + x ) + 6
Hitunglah f (4)

 PENERAPAN EKONOMI Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritmik

Biasanya digunakan untuk menganalisis masalah pertumbuhan. Meskipun demikian kurva permintaan, penawaran, biaya dan penerimaan juga bisa dianalisis dengan fungsi ekponensial dan fungsi logaritmik Untuk itu analisisnya sama dengan fungsi linier yang berbeda hanya bentuk fungsinya saja.

a) Model Bunga Majemuk : Fn = P ( 1 + ) m.n merupakan fungsi eksponsial.

Fn = jumlah pinjaman / tabungan
P = jumlah pada tahun awal ( ke nol )
i = Hitungan bunga per tahun
m = frekuensi pembayaran per tahun
n = jumlah tahun

Jika bunga diperlakukan harian (m = 360) maka model tersebut menjadi : Fn = Pe m e 2,7278

Contoh hal 166

b) Model pertumbuhan
Pt = P1 R t -1 R = 1 + r
Pt = jumlah penduduk pada periode ke t
P1 = jumlah penduduk pada periode ke 1
r = persentase pertumbuhan persalinan waktu

Contoh : hal 167

>>Baca Selengkapnya

BAB VIII. FUNGSI NON LINIER

8.1. Pendahuluan

Fungsi non linier merupakan model yang tidak kalah pentingnya dibandingkan dengan fungsi linier dalam penerapan ekonomi, karena sebagian dari model ekonomi linier yang ada, sesungguhnya merupakan linierisasi dari model non linier.
Ada 4 macam bentuk fungsi non linier yang paling sering dijumpai dalam analisis ekonomi, yaitu : - Fungsi Kuadrat
- Fungsi Kubik
- Fungsi Eksponensial
- Fungsi Logaritma
Diantara ke empat fungsi nonlinier tersebut yang paling sering digunakan adalah fungsi kuadrat.

8.2. Fungsi Kuadrat

Fungsi Kuadart adalah fungsi yang mempunyai pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua.
Gambar fungsi kuadrat bisa berupa : - Lingkaran
- Elips
- Parabola
- Hiperbola
Tetapi dalam penerapan ekonomi, yang paling sering digunakan adalah fungsi kuadrat yang berbentuk PARABOLA.

Bentuk yang lebih umum dari fungsi kuadrat :

a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + p X Y + e = 0
dimana a atau b  0

sebuah fungsi kuadrat jika mempunyai ciri-ciri berikut ini maka :
Jika p = 0 dan a = b  0 bentuk kurvanya Lingkaran
p 2 – 4 a b < 0 ; a  b dan tanda sama bentuk kurvanya Elips
p 2 – 4 a b > 0 ; a & b tanda berlawanan bentuk kurvanya Hiperbola

p 2 – 4 a b = 0 bentuk kurvanya Parabola
berati jika salah satu saja yaitu jika a = 0 atau b = 0 tetapi tidak keduanya, maka kurvanya akan berbentuk Parabola

 LINGKARAN

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak tetap terhadap sebuah titik tertentu yang disebut pusat.
Bentuk umum persamaan lingkaran :

a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0

Lalu ubah bentuk persamaan menjadi ( X – i ) 2 + ( Y – j ) 2 = r 2
Dimana : i = ; j = dan r =
Maka i = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu Y
j = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu X
r = jari-jari lingkaran

Lingkaran bisa digambarkan jika nilai r 2 > 0
Titik potong lingkaran pada sumbu koordinat dapat dicari dengan memisalkan masing-masing X = 0 dan Y = 0 secara bergantian.
Jika i > r  lingkaran tidak memotong sumbu Y
j > r  lingkaran tidak memotong sumbu X

Contoh :
3 X 2 + 3 Y 2 – 24 X – 18 Y = 33 : 3
X 2 + Y 2 – 8 X – 6 Y = 11
i = = = 4 j = = = 3
dan r = = = = 6
jadi lingkaran tersebut mempunyai titik pusat pada sumbu koordinat
( 4 ; 3 ) dengan jari-jari lingkaran = 6













 ELIPS

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Elips mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus. Sumbu yang panjang disebut Sumbu Mayor. Dan yang pendek disebut Sumbu Minor. Titik potong antara kedua sumbu elips tersebut merupakan pusat elips ybs.

Bentuk Umum Persamaan Elips :
a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0

dimana : a tandanya sama dengan b tetapi nilai a b

Pusat dan jari-jari elips dirumuskan sebagai berikut :
jika r = r maka akan menjadi lingkaran.

Contoh :
Tentukan pusat , jari-jari dan perpotongan kurva elips dengan masing-masing sumbu koordinatnya ( sumbu X dan Y ) dari persamaan elips berikut :

8 X 2 + 2 Y 2 - 32 X - 12 Y + 18 = 0 : 2
4 X 2 + Y 2 - 16 X - 6 Y = - 9
4 X 2 - 16 X + Y 2 - 6 Y = - 9
4 X 2 - 16 X + k + Y 2 - 6 Y + k = - 9 + k + k
(4 X 2 - 16 X + 16) + (Y 2 - 6 Y + 9) = - 9 + 16 + 9
4 (X – 2) 2 + (Y – 3) 2 = 16 : 16
+ = 1  + = 1
Dengan demikian : i = 2 dan j = 3 r = 2 dan r = 4
Berarti : pusat elips ada pada titik ( 2 ; 3 )
Karena r < r maka sumbu mayor elips // sumbu vertikal Y
r adalah jari-jari pendek dan r adalah jari-jari panjang

Hitunglah : pada titik koordinat berapakah terjadi perpotongan kurva elips dengan sumbu X dan sumbu Y.











 HIPERBOLA

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Hiperbola mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus dan sepasang asimtot. Perpotongan antara sumbu-sumbu simetri (antara asimtot-asimtot) merupakan pusat hiperbola.

Bentuk umum persamaan hiperbola :

a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0 ; dimana a dan b berlawanan tanda

Pusat hiperbola dapat dicari dengan cara :

dimana sumbu lintang // sumbu X

atau dimana sumbu lintang // sumbu Y

dimana ( i , j ) adalah koordinat titik pusat hiperbola

Jika nilai m = n maka asimtotnya akan saling tegak lurus, dan sumbu lintangnya tidak lagi sejajar salah satu sumbu koordinat, dan hiperbolanya disebut hiperbola sama sisi.

 PARABOLA

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direktriks. Setiap parabola mempunyai sebuah sumbu simetri dan sebuah titik ekstrim.






Persamaan parabola :

 y = a X 2 + b X + c jika sumbu simetri // sumbu vertikal (sumbu y)
 X = a Y 2 + b Y + c jika sumbu simetri // sumbu horisontal (sumbu x)

X Y
Titik Ekstrim :
Jarak titik ekstrim Jarak titik ekstrim
Pada sumbu Y pada sumbu X

Contoh : Tentukan titik ekstrim dan perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu x dan y) dari parabola berikut :
Y = - X 2 + 6 X – 2

Sumbu simetri sejajar sumbu Y
Karena nilai a = - 1 < 0 ; maka parabolanya menghadap ke bawah.
Titik ekstrimnya terletak di atas atau titik maksimum, dengan titik
koordinat :

= = = ( 3 , 7 )

Perpotongan dengan sumbu Y terjadi pada saat X = 0  Y = - 2

Perpotongan dengan sumbu X terjadi pada saat Y = 0 

0 = - X 2 + 6 X – 2

Dengan menggunakan rumus a b c diperoleh

X = 5,65 dan X = 0,35

y
(3,7)
7


y = -x2 + 6x - 22

x = 3 sumbu simetri

x
0 0,35 3 5,65

-2

Latihan : Pada Buku Dumairy hal 141 – 142
Nomor : 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 9 ; 10





8.2. Penerapan Ekonomi Fungsi Non Linier

1. Fungsi Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar


Analisisnya sama dengan persamaan
Linier, hanya bentuk fungsinya tidak
Linier.


Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan  Q d = 19 – P 2
Q s = - 8 + 2 P 2
 Berapa harga keseimbangan dan jumlah barang keseimbangan ?
Jawab : titik Keseimbangan terjadi pada saat Q d = Q s
19 – P 2 = - 8 + 2 P 2
19 + 8 = 2 P 2 + P 2
27 = 3 P 2
P 2 = 9  P =  9 =  3
Jika nilai P = 3  Q = 19 – P 2 = 19 – 3 2 = 19 – 9 = 10
Jadi harga yang terjadi pada titik keseimbangan Rp 3,00 dan jumlah permintaan pada titik keseimbangan 10 unit.

 Jika dikenakan pajak spesifik ( pajak tetap ) sebesar t = 1
 Berapa harga dan jumlah barang pada titik keseimbangan?

Fungsi penawaran setelah pajak Q s = - 8 + 2 ( P – t ) 2
Q s = - 8 + 2 ( P – 1) 2
Q s = - 8 + 2 ( P 2 – 2 P + 1 )
Q s = - 8 + 2 P 2 – 4 P + 2
Q s = - 6 + 2 P 2 – 4 P
Titik keseimbangan setelah kena pajak  Q d = Q s yg baru
19 – P2 = - 6 + 2 P2 – 4 P
0 = 2 P2 + P2 – 4 P – 6 – 19
0 = 3 P2 – 4 P – 25  3 P2 – 4 P – 25 = 0
Untuk mencari nilai P gunakan rumus abc  X 12 =
P12 =  P12 =

P12 =  P12 =  P1 = = 3,63 (yang dipilih)
 P2 = = - 2,2967
Q d = 19 – P 2 = 19 – ( 3,63 ) 2 = 19 – 13,1769 = 5,8231 6

Jadi harga keseimbangan setelah ada pajak Rp. 3,63 dan jumlah permintaan setelah ada pajak 6 unit

2. Penerapan Fungsi non Linier dari Fungsi Biaya

Bentuk non linier dari fungsi biaya  Fungsi Parabola
 Fungsi Kubik
 Biaya Tetap ( FC ) = konstanta
 Biaya Variabel ( VC ) = f ( Q )
 Biaya Total ( TC )  C = FC + VC = k + f ( Q )
 Biaya Marginal =
a). Fungsi Biaya Total  TC = a Q 2 – b Q + c  Fungsi Parabola












b). Fungsi Biaya Total  TC = a Q 3 – b Q 2 + c Q + d  Fungsi Kubik





Kasus : Biaya total TC = 2 Q 2 – 24 Q + 102 Parabola
 Pada tingkat produksi berapa unit, biaya total ini minimum ?
 Hitung biaya total minimum ?
 Hitung biaya tetap, biaya variabel, biaya rata-rata, Biaya tetap rata-rata, biaya variable rata-rata ?
 Jika produksi dinaikkan sebesar 1 unit, berapa besarnya biaya marginal ?
TC minimum titik ekstrim parabola
Q pada TC minimum = = = = 6 unit
TC (Biaya Total) pada produksi minimum = 2 Q 2 – 24 Q +102
= 2 (6) 2 – 24 (6) + 102 = 30
TC minimum pada ordinat titik ekstrim parabola.
TC total minimum = = = 30
Pada Q = 6
FC = 102
VC = 2Q 2 – 24Q = 2 ( 6 ) 2 – 24 ( 6 ) = - 72

3. Fungsi Penerimaan, Keuntungan dan Kerugian serta Titik Impas dari Fungsi Non Linier

Fungsi penerimaan bentuk umum fungsi parabola menghadap ke bawah pada Produsen di pasar monopoli.
Sedang bentuk fungsi penerimaan akan linier untuk produsen di pasar persaingan sempurna

TR = Q X P = f (Q) total penerimaan
= AR rata-rata penerimaan
= MR penerimaan marginal












Dimana T I = titik impas
Besar kecilnya keuntungan diperlihatkan oleh besar kecilnya selisih, positif antara TR dan C
Keuntungan maximum tidak selalu terjadi pada saat TR maksimum.

Contoh : Fungsi permintaan yang dihadapi seorang produsen monopolis P = 30 – 1,5 Q.
 Bagaimana persamaan penerimaan totalnya ?
 Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum dan berapa besarnya penerimaaan total ?

TR = Q x P = Q x ( 30 – 1,5 Q ) = 30 Q – 1,5 Q 2 parabola
TR Maksimum pada titik ekstrim parabola
TR Maks pada Q = = = = 10
TR Maks 30 Q – 1,5 Q 2
30 (10) – 1,5 (102) = 300 – 150 = 150  bisa juga dari rumus ( )
 Jika biaya total diperlihatkan oleh TC = 0,25 Q 3 – 3 Q 2 + 7Q + 20
Hitunglah ke an perusahaan, jika terjual barang sebanyak 10 dan 20 unit.
= TR - TC
= ( 30 Q – 1,5Q 2 ) – ( 0,25 Q 3 – 3 Q 2 + 7Q + 20 )
= 30 Q – 1,5 Q 2 - 0,25 Q 3 + 3 Q 2 - 7Q – 20
= - 0,25 Q 3 + 1,5 Q 2 + 23 Q – 20

Pada saat Q = 10 = - 0,25 (10) 3 + 1,5 (10) 2 + 23 (10) – 20
= - 250 + 150 + 230 – 20
= 110

 Jadi keuntungan perusahaan, jika barang terjual sebanyak 10 unit adalah sebesar Rp. 110,00
Pada saat Q = 20 = - 0,25 (20) 3 + 1,5 (20) 2 + 23 (20) – 20
= - 2000 + 600 + 460 – 20
= - 960

 Jadi perusahaan jika barang terjual sebanyak 20 unit, maka perusahaan akan rugi sebesar Rp. 960,00

4. Fungsi Eksponensial

 Kurvanya ada di kuadran I dan II pada sistem koordinat
Bentuk sederhana : y = n x n > 0
Bentuk umum : n e k x + C n 0 k,c = konstanta
Kurvanya asimtotik terhadap garis y = c

Titik potong kurva eksponensial = y = n e k x + C






Pada sumbu x { ln ; 0 } dimana y = 0
Pada sumbu y { 0 ; n + c } dimana x = 0

Contoh : - Tentukan titik potong kurva ekponensial y = 2 e 0,5 x – 4 pada masing-masing sumbu koordinat dan gambarkan kurvanya
- Hitunglah f (3)
Titik potong sumbu x l n = 2 ln = 2 (0,69) = 1,39.
Titik potong sumbu y n + c = 2 – 4 = - 2
Nilai f (3)  X = 3 y = 2 e 0,5 (3) – 4 y = 2 e 1,5 – 4
y = 2 (4,48) – 4 = 4,96










5. Fungsi Logaritmik

Merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial, yang variable bebasnya merupakan bilangan logaritma
Bentuk sederhana : y = n log x n > 0
n 0
Bentuk umum : y = a ln (1+x) + b x > -1
Kurvanya ada disebelah kanan dan asimtotik terhadap garis x = -1
Titik potong dengan sumbu –x ; y = 0 { e – ( ) – 1 ; 0 }
Titik potong dengan sumbu – y ; x = 0 { 0 ; b }






latihan : Tentukan titik potong kurva logaritmik y = 2 ln ( 1 + x ) + 6
Hitunglah f (4)

 PENERAPAN EKONOMI Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritmik

Biasanya digunakan untuk menganalisis masalah pertumbuhan. Meskipun demikian kurva permintaan, penawaran, biaya dan penerimaan juga bisa dianalisis dengan fungsi ekponensial dan fungsi logaritmik Untuk itu analisisnya sama dengan fungsi linier yang berbeda hanya bentuk fungsinya saja.

a) Model Bunga Majemuk : Fn = P ( 1 + ) m.n merupakan fungsi eksponsial.

Fn = jumlah pinjaman / tabungan
P = jumlah pada tahun awal ( ke nol )
i = Hitungan bunga per tahun
m = frekuensi pembayaran per tahun
n = jumlah tahun

Jika bunga diperlakukan harian (m = 360) maka model tersebut menjadi : Fn = Pe m e 2,7278

Contoh hal 166

b) Model pertumbuhan
Pt = P1 R t -1 R = 1 + r
Pt = jumlah penduduk pada periode ke t
P1 = jumlah penduduk pada periode ke 1
r = persentase pertumbuhan persalinan waktu

Contoh : hal 167

>>Baca Selengkapnya

BAB V. HUBUNGAN FUNGSIONAL

5.1. Pengertian dan Unsur-Unsur Fungsi

FUNGSI adalah
 Relasi yang memetakan setiap anggota domain satu kali dengan anggota kodomain.
 Suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan antara satu variable dengan variable lain.

Fungsi f : A -------- B A : domain ( wilayah )
B : Kodomain ( jangkauan / range )

Sebuah fungsi dinyatakan dalam bentuk : - Persamaan
- Pertidaksamaan
 Unsur pembentuk fungsi :
- Variabel
- Koefisien
- Konstanta ( bisa ada atau tidak )
-
Notasi sebuah fungsi secara umum : y = f (x)
Contoh kongkretnya : y = 5 + 0,8 x

 Variabel bebas ( x ) dan variable tak bebas ( y )
 Koefisien : bilangan yang ada di depan variable gradien atau lereng atau slope.
 Konstanta : bilangan yang tidak terkait dengan suatu variable tertentu.

5.2. Jenis-Jenis Fungsi dan Cara Menggambar Fungsi

1. F. Polinom : mengandung banyak suku variable bebasnya

Y = a + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x 3 + ….. + b n x n

2. F. Linier : variabelnya berpangkat Satu

Y = a + b x

3. F. Kuadrat : fungsi polinom yang pangkat tertingginya berderajat dua

Y = a + b 1 x + b 2 x 2

4. F. Berderajat n : fungsi yang pangkat tertingginya berderajat n

Y = a + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x 3 + ….. + b n x n

5. F. Pangkat : fungsi yang variable bebasnya berpangkat sebuah bilangan nyata

Y = x n

6. F. eksponensial : yang variable bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol

Y = n x , dimana n > 0

7. F. Logaritmik : fungsi inverse ( balik ) dari fungsi eksponensial

Y = n log x

8. F. Trigonometrik dan F. Hiperbolik : yang variable bebasnya merupakan bilangan goneometrik

Y = sin 5x  Fungsi Trigonometrik
Berdasar letak ruas variabelnya, fungsi dibagi 2 yaitu :

1. Fungsi Eksplisit : fungsi yang variable bebas dan variable tak bebasnya terletak pada ruas yang berlainan

Y = f ( x )  Y = a + b 1 x + b 2 x 2

2. Fungsi Implisit : Fungsi yang variable bebas dan variabel tak bebasnya terletak pada satu ruas, dikiri semua atau di kanan semua.

0 = f ( x , y )  0 = a – y + b 1 x y + b 2 x 2

Cara menunjukkan fungsi ada 3 :

 Cara lambang  y = f ( x ) = 8 – 2 x

 Cara daftar lajur
X 0 1 2 3 4
y 8 6 4 2 0

F (x) = 8 – 2x Titik koordinat
F (0) = 8 – 2 (0) = 8  ( 0, 8 )
F (1) = 8 – 2 (1) = 6  ( 1, 6 )
F (2) = 8 – 2 (2) = 4  ( 2, 4 )
F (3) = 8 – 2 (3) = 2  ( 3, 2 )
F (4) = 8 – 2 (4) = 0  ( 4, 0 )

 Cara Grafik ( hanya untuk fungsi yang bisa dieksplisitkan )


contoh : y = 8 - 2 x

X 0 1 2 3 4
y 8 6 4 2 0











Tugas Rumah:

1. Gambarkan titik berikut pada sistem sumbu koordinat
A (3, 4) ; B (3, - 4) ; C ( - 3, - 2) ; D (- 4, 2)
2. Tunjukkan titik berikut ada pada garis lurus
( 0, 8 ) ; ( 2, 4 ) ; ( 4 , 0 ) dan ( 6, - 4 )
3. Jika f (x) = 9 – x 2 , berapakah nilai f (0) ; f (2) ; f (- 2) ; f (3)
4. Buatlah daftar lajur dan gambar dari fungsi non linier berikut :
a). y = 9 – 4 x + x 2
b). y = - 2 + 4 x 2 – x 3
c). x = 8 – 2 y – y 2







BAB VI. FUNGSI LINIER ( Fungsi Berderajat Satu )

6.1. Pengertian Fungsi Linier

Fungsi Linier adalah fungsi yang variabelnya mempunyai pangkat tertinggi adalah pangkat satu dan jika digambar membentuk garis lurus.

Bentuk Umum fungsi linier : y = a + b x atau a + b x - y = 0

Dimana : a = konstanta atau penggal pada sumbu y
b = koefisien arah atau lereng garis atau tangen atau slope

Dalam persamaan linier, nilai lereng ( y / x = b ) selalu tetap

Suatu garis lurus akan sejajar dengan sumbu x atau sumbu y jika b = 0








6.2. Pembentukan Persamaan Linier

Sebuah persamaan linier bisa dibentuk dari 4 cara :
 Dwi koordinat
 Koordinat – Lereng
 Penggal – Lereng
 Dwi penggal

a. Cara Dwi Koordinat ( 2 titik )

Jika diketahui 2 titik A (x1 ; y1) dan titik B (x2 ; y2), maka rumus persamaan garis lurusnya adalah :

Y – Y1 = x – x1
Y2 – Y1 x2 – x1

Contoh : buatlah persamaan qaris lurus dari dua titik berikut ini
A ( 2 , 3 ) dan B ( 6 , 5 )
x1 y1 x2 y2
=
=
=
4 ( y – 3 ) = 2 ( x – 2 )
4 y – 12 = 2 x – 4
4 y = 2 x – 4 + 12
4 y = 2 x + 8
y = x + 2
b. Cara Koordinat – Lereng

Jika diketahui sebuah titik A ( x1 ; y1 ) dengan lereng garisnya atau kemiringan garis adalah b, maka rumus persamaan garis lurusnya adalah

y – y1 = b ( x – x1 ) atau

Contoh: Persamaan garis lurus yang melalui titik A (2,3) dan lereng b = 0,5 adalah

y – y1 = b (x – x1)
y – 3 = 0,5 (x – 2) y – 3 = 0,5x – 1
y = 0,5x – 1 + 3
y = 0,5x + 2

c. Cara Penggal – Lereng

Jika diketahui penggal salah satu sumbu adalah a dan lerengnya adalah b, maka rumus persamaan garis lurusnya adalah

Y = a + b x

d. Cara Dwi Penggal

Jika diketahui penggal pada sumbu Vertikal y ketika x = 0 adalah a dan penggal pada sumbu horizontal x ketika y = 0 adalah c, maka rumus persamaan garis lurusnya adalah :
Y = a –

Contoh : jika penggal sebuah garis lurus pada sumbu vertikal adalah 2 dan sumbu horizontal adalah - 4 maka persamaan garis lurusnya adalah

y = a –
y = 2 – y = + 2

Gambar garis lurus yang dibentuk oleh keempat cara tersebut minta mahasiswa untuk mencoba menggambarnya

6.3. Hubungan Dua Garis Lurus

Dua buah garis lurus mempunyai 4 kemungkinan bentuk hubungan yaitu :
1. Berimpit
2. Sejajar
3. Berpotongan
4. Saling Tegak lurus

1). Berimpit

dua buah garis lurus akan berimpit jika persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari (secara proporsional terhadap) persamaan garis lainnya.

Dua buah garis lurus y1 = a 1 + b 1 x dan y 2 = a 2 + b 2 x akan berimpit jika

Y 1 = n y 2 contoh dua garis lurus yang berimpit :
y = 0,5 x + 2 dengan 2 y = x + 4


a 1 = n a 2
b 1 = n b 2






2). Sejajar

dua buah garis lurus akan sejajar jika lereng grs yang satu sama dengan lereng grs yang lain.

Y = a 1 + b 1 x dan y = a 2 + b 2 x akan sejajar jika :
a 1  a 2
b 1 = b 2
contoh : dua garis lurus y = 0,5 x + 2 dengan y = 0,5 + 4 akan sejajar

3). Berpotongan

dua buah garis lurus akan berpotongan jika lereng garis yang satu tidak sama dengan lereng garis yang lain.

y = a 1 + b 1 x dan y = a 2 + b 2 x akan berpotongan jika b 1  b 2

Contoh : y = 0,5 x + 2 dengan y = 2 x + 3
4). Tegak Lurus

Dua garis lurus, akan saling tegak lurus jika lereng grs yang satu merupakan kebalikan dari lereng grs yang lain dengan tanda yang berlawanan .

y = a 1 + b 1 x dan y = a 2 + b 2 x akan tegak lurus jika :

b 1 = - 1 atau b 1 . b 2 = - 1
b 2
contoh : y = + 2 dan y = -2x + 4

latihan : UT hal 73 ; tugas UT hal 79

6.4. Pencarian Akar-Akar Persamaan

yaitu menghitung besarnya nilai variable-variabel ( misal y , x ) dalam persamaan tersebut.
Pencarian nilai variabel dari persamaan – persamaan linier secara simultan dapat dilakukan melalui 3 cara yaitu
 SUBSTITUSI
 ELIMINASI
 DETERMINASI

 Cara Substitusi

Menyelesaikan dahulu satu persamaan untuk satu variable, lalu menstubstitusikan /memasukkan ke persamaan yang lain

Contoh : dari dua persamaan linier berikut 2x + 3y = 21
dan x + 4y = 23 carilah nilai variable x dan y

x + 4y = 23
x = - 4y + 23 masukkan ke 2x + 3y = 21
2 (- 4y + 23) + 3y = 21
- 8y + 46 + 3y = 21
- 5y = 21 – 46
- 5y = - 25
y = = 5 y = 5 (masukkan dalam salah satu persamaan semula)
x + 4y = 23
x + 4(5) = 23
x + 20 = 23
x = 23 – 20 x = 3

 Cara Eliminasi

Yaitu dilakukan dengan cara menghilangkan sementara salah satu variable sehingga diperoleh nilai variable yang lain,
lalu substitusikan ke dalam salah satu persamaan semula.

Contoh : 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23
Cara : 2x + 3y = 21 [x1]  2x + 3y = 21
x + 4y = 23 [x2]  2x + 8y = 46 _
-5 y = - 25
y = = 5  y = 5
karena nilai y = 5 , masukkan ke dalam pers 2x + 3y = 21
2 x + 3 (5) = 21
2 x + 15 = 21
2 x = 21 – 15
2 x = 6
x = = 3  x = 3

 Cara Determinasi

Cocok untuk mencari nilai variable-variabel yang banyaknya lebih dari 2 variabel
ax + by = c
dx + ey = f

x = = =
y = = =
cara menghitung determinan 3 variabel
a x + b y + c z = k
d x + e y + f z = L
g x + h y + i z = m

a b c = aei + bfg + chd – gec – dbi – afh
Du = d e f
g h i

Dx = k b c = keI + bfm + chL – mec – Lbi – kfh
L e f
m h i

Dy = a k c = aLi + kfg + cmd – gLc – dki – afm
d L f
g m i

a b k = aem + bLg + khd – gek – dbm – aLh
Dz = d e L
g h m

x = Dx y = Dy z = Dz
Du Du Du

>>Baca Selengkapnya

BAB IX. DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

9.1. Pengertian

 Diferensial : Membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi, sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan ( X dibaca delta X ).

 Diferensial : Dapat juga digunakan untuk mempelajari titik maksimum, titik minimum, dan titik belok. Oleh karena itu diferensial merupakan salah satu alat analisis yang penting dalam bisnis dan ekonomi.

 Diferensial / Turunan dilambangkan sebagai berikut :

a. b. limit c. y 1 d. f 1 (x) e.

dimana X 0

Diferensiasi adalah proses penurunan sebuah fungsi

9.2. Kaidah-kaidah Diferensiasi

1. Diferensiasi Konstanta

Jika y = k y ‘ = 0 y = 5 y ‘ = 0

2. Diferensiasi Fungsi Pangkat

Jika y = x n y ‘ = n x n-1 y = x 3 y ‘ = 3 x 3-1 = 3 x 2

3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi
Jika y = k v dimana v = h (x) y ’ = k
y = 5 x 3 y ’ = 5 ( 3 x 3-1 ) = 15 x 2
4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi
Jika y = dimana v = h (x) y ‘ =
y = y ’ = = =
5. Diferensiasi perkalian fungsi
y = u v u = g (x) dan v = h (x)
= u v ‘ + v u ‘
y = 4 x 2 ( x 3 ) y ‘ = 4 ( x 2 ) ( 3 x 2 ) + ( x 3 ) 4 ( 2 x )
= 12 x 4 + 8 x 4 = 20 x 4

6. Diferensiasi pembagian fungsi
y = =
y = y ’ = =

7. Diferensiasi fungsi komposit (fungsi di dalam fungsi)
y = f(U) y = f {g(x)} = .
y = ( 4 x 3 + 5 ) 2 y ‘ = 2 ( 4 x 3 + 5 ) .12 x 2
= (8 x 3 + 10).12 x 2 = 96 x 5 + 120 x 2

8. Diferensiasi fungsi pangkat
y = u n dimana u = g (x) = n u n – 1 .
y = ( 4 x 3 + 5 ) 2 y’ = 2 ( 4 x 3 + 5 ).12 x 2
= ( 8 x 3 + 10 ).12 x 2 = 96 x 3 + 120 x 2

9. Fungsi Log
y = a log x y ’ =
y = 5 log 2 y’ =

10. Fungsi y = a log u y ‘ = .

11. y = ( a log u) n y ‘ = .


12. y = ln x y ‘ =

13. y = ln u y ‘ = .

14. y = (ln u) n y ‘ = . .

15. y = a x y ‘ = a x ln a

16. y = a 4 y ‘ = a u ln a

17. y = u v y ‘ = v u v-1 . + u v ln u .

18. Fungsi Invers y = f(x) dan x = g(y) adalah fungsi yang saling berbalikan =

Latihan lihat dumairy hal 207 no. 1 s/d no. 10

Turunan pertama = = y ‘
Turunan kedua = = y ‘’
Turunan ketiga = = y ‘’’ dst.

9.3. Hubungan Antar Fungsi dan Derivatifnya

Y = x 3 – 4 x 2 + 12 x – 5 Fungsi kubik
Y ‘ = x 2 – 8 x + 12 Fungsi kuadrat (turunan pertamanya)
Y ‘’ = 2 x – 8 Fungsi linier (turunan keduanya)
Y ‘’’ = 2 Konstanta (turunan ketiganya)


1. Fungsi Menaik dan Menurun pada fungsi non linier

 Turunan pertama dari fungsi non linier dapat dipergunakan untuk menentukan apakah kurvanya menaik atau menurun dan menentukan letak titik ekstrim.

Jika nilai y I > 0 fungsi menaik
Y I < 0 fungsi menurun
Y I = 0 berada pada titik ekstrim
jika f I (a) > 0 untuk x < a
titik ekstrimnya titik maksimum
jika f I (a) < 0 untuk x > a

jika f I (a) > 0 untuk x > a
titik ekstrimnya titik minimum
jika f I (a) < 0 untuk x < a

Contoh :
Y = f (x) = x 3 – 4 x 2 + 12 x – 5
Apakah fungsi menaik atau fungsi menurun pada x = 5 dan x = 7 dan selidiki juga pada x = 6
Y ‘ = f ‘ (x) = x 2 – 8 x + 12
f ‘ (5) = (5) 2 – 8 (5) + 12 = - 3 < 0 maka f (x) tsb. Menurun pada x = 5
f ‘ (7) = (7) 2 – 8 (7) + 12 = 5 > 0 maka f (x) tsb. Menaik pada x = 7
f ‘ (6) = (6) 2 – 8 (6) + 12 = 0 maka f (x) tsb. berada pada titik ekstrim
karena f ’ (x) < 0 untuk x < 6 dan f ’ (x) > 0 untuk x > 6
maka titik ekstrimnya adalah titik minimum

2. Titik Ekstrim Fungsi Parabolik

Fungsi Parabola y = f (x) akan mencapai titik ekstrim pada y ‘ = 0
 Jika y ‘’ < 0 parabola terbuka ke bawah (titik maksimum)
 Jika y ‘’ > 0 parabola terbuka ke atas (titik minimum)

Contoh :
i. y = x 2 – 8 x + 12 y ‘ = 2 x - 8 y ‘’ = 2 > 0 titik minimum
ii. y = - x 2 + 6 x + 4 y ‘ = - 2 x + 6 y ‘’ = - 2 < 0 titik maksimum

3. Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik

Fungsi kubik y = f ( x ) mencapai titik ekstrim pada y ‘ = 0
 Jika y ‘’ < 0 pada y ‘ = 0 titik ekstrimnya maksimum
 Jika y ‘’ > 0 pada y ‘ = 0 titik ekstrimnya minimum

Fungsi kubik ada pada titik belok pada y ‘’ = 0

Contoh :
f (x) = x 3 – 3 x 2 + 8 x – 3  fungsi kubik
Jika y ‘ = 0  x 2 – 6 x + 8 = 0  (x – 2) (x – 4) = 0  x 1 = 2 dan x 2 = 4

 Untuk x = 2  y ‘’ = 2 x – 6 = 2 (2) – 6 = - 2 < 0
 Untuk x = 2  y = f (2) = (2) 3 – 3 (2) 2 + 8 (2) – 3 = 3,67
 maka pada titik (2; 3,67) fungsi tsb. ada pada titik maksimum

 untuk x = 4  y ‘’ = 2 x – 6 = 2 (4) – 6 = 2 > 0
 untuk x = 4  y = f ( 4) = (4) 3 – 3 (4) 2 + 8 (4) – 3 = 2,33
 maka pada titik (4; 2,33) fungsi tsb. ada pada titik minimum

Latihan : dumairy hal 219, 220

9.4. Penerapan Ekonomi Diferensial

1. Elastisitas
 Elastisitas merupakan persentase perubahan y yang disebabkan oleh persentase perubahan x.
Rumus Elastisitas = .
a). Elastisitas Permintaan adalah besarnya perubahan jumlah permintaan barang, akibat adanya perubahan harga.
 Rumus elastisitas permintaan d = .
Elastis jika d > 1
Inelastis jika d < 1
Uniter jika d = 1

 Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang Q = 25 – 3 P 2
Tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 5.
 Jawab : d = . = ( - 6 P ) = - 6 (5) = 3
d = 3 ( elastis ) artinya pada kedudukan harga P = 5, jika harga barang naik sebesar 1 %, maka permintaannya akan turun sebanyak 3 % .

b). Elastisitas Penawaran adalah adalah besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan, jika ada perubahan harga.
 Rumus Elastisitas Penawaran s = .
 Contoh : Fungsi penawaran suatu barang diperlihatkan oleh Q = - 200 + 7 P 2
Tentukan elastisitas penawarannya, pada tingkat harga P = 10
 Jawab : s = . = ( 14 P )
 Pada P = 10 s = (14)(10) = 2,8 ( elastis )
 s = 2,8 artinya pada kedudukan harga P = 10, jika harga barang naik 1 % , maka jumlah barang yang ditawarkan juga akan naik sebanyak 2,8 %.

c). Elastisitas Produksi adalah besarnya perubahan jumlah output yang dihasilkan, karena adanya perubahan jumlah input.
 Rumus Elastisitas Produksi = .
 Contoh : Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan P = 6 X 2 – X3 Hitung elastisitas produksinya, pada tingkat penggunaan faktor produksi (input) sebesar X = 3
 Jawab : s = . = ( 12 X – 3 X 2 )
 Pada X = 3 s = ( 12 . 3 – 3 . 3 2 ) = 1
 s = 1 (uniter) artinya pada tingkat penggunaan input X = 3 , jika input ditambah 1 %, maka jumlah produksi (output) juga akan bertambah 1 %.

2. Biaya Marjinal / Marginal Cost ( MC )

 Biaya Marjinal ( MC ) adalah besarnya biaya yang harus ditambahkan , jika jumlah produksi ditambah 1 unit.
 Rumus biaya marjinal MC = TC I = dan MC minimum jika MC I = 0
 Contoh : Biaya total (TC) = f (Q) = Q 3 – 3 Q 2 + 4 Q + 4
Biaya Marjinal (MC) = TC ‘ = 3 Q 2 – 6 Q + 4
Pada tingkat produksi/ penjualan berapakah biaya marjinal minimum ?
Berapa besarnya biaya marjinal minimum tersebut ?

 Jawab :
MC minimum pad MC ‘ = 0
MC ‘ = 6 Q – 6 = 0 6 Q = 6 Q = 1 MC minimum
MC minimum = 3 Q 2 – 6 Q + 4 = 3 ( 1 ) 2 – 6 ( 1 ) + 4 = 6

 Jadi besarnya biaya marjinal minimum sebesar RP. 6 pada tingkat produksi 1 unit.

3. Penerimaan Marginal / Marginal Revenu (MR)

 Penerimaan Marjinal adalah besarnya tambahan penerimaan, jika jumlah produksi atau barang yang terjual bertambah 1 unit.
 Rumus penerimaan marjinal MR = TR I = dan TR maks. Jika MR = 0

 Contoh : fungsi permintaan suatu barang P = 16 – 2 Q
Berapakah besarnya penerimaan maksimum ?

 Jawab : Fungsi Penerimaan Total (TR) = P.Q = (16 – 2 Q) (Q)
= 16 Q – 2 Q 2
Penerimaan Marjinal (MR) = TR ‘ = 16 – 4 Q
TR akan maksimum jika MR = 0 16 – 4 Q = 0
4 Q = 16 Q = 4
TR Maks = 16 Q – 2 Q 2 = 16 (4) – 2 (4) 2 = 32
 Jadi besarnya penerimaan total maksimum sebesar Rp. 32,00

4. Keuntungan Maksimum ( Maks. )

Fungsi keuntungan = TR – TC dan akan optimum jika I = 0
Jika ’’ < 0 maksimum = keuntungan maksimum
Jika ’’ > 0 minimum = kerugian maksimum

Contoh : jika fungsi penerimaan TR = - 2 Q 2 + 1000 Q
Dan fungsi biaya total TC = Q 3 – 59 Q 2 + 1315 Q + 2.000
Berapakah tingkat keuntungan maksimum ?

Jawab :
= TR – TC
= (- 2 Q 2 + 1000 Q) – (Q 3 – 59 Q 2 + 1315 Q + 2.000)
= - Q 3 + 57 Q 2 - 315 Q – 2.000

Keuntungan maks ’ = 0

’ = - 3 Q 2 + 114 Q – 315 = 0 - Q 2 + 38 Q – 105 = 0
( - 3 Q + 3 ) ( Q – 35 ) = 0
Q = 1

5. Utilitas Marginal MU  U I = MU = 0  U maksimum

6. Produk Marginal MP  P I = MP = 0  P maksimum

P Pada titik belok > jika MP I = 0, MP maks

>>Baca Selengkapnya

BAB V. KONSEP DERET DAN PENERAPANNYA

5.1. Pengertian Deret

Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah tertentu.
Suku adalah bilangan yang merupakan unsur pembentuk deret.

Deret menurut jumlah sukunya dibagi 2 :
1. Deret berhingga  Deret yang suku-sukunya tertentu.
2. Deret tak berhingga  Deret yang jumlah suku-sukunya tak terbatas .
Deret yang paling sering digunakan adalah
a. Deret hitung
b. Deret ukur

Ad. a. Deret hitung

Deret Hitung adalah deret yang perubahan sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu.
Pembeda : Bilangan yang membedakan antar suku dari deret hitung.

Rumus suku ke – n dari deret hitung :  S n = a + ( n – 1 ) b

a = Suku pertama / S1 n = Indeks suku
b = Pembeda S n = Suku ke- n dari deret hitung

Jumlah n suku dari deret hitung  J n = n/2 { 2 a + ( n – 1 ) b }
J n = n/2 ( a + S n )
J n = n a + n/2 ( n – 1 ) b



 Penerapan Deret Hitung

Jika perkembangan variable tertentu dalam kegiatan usaha seperti : produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja atau penanaman modal berpola deret hitung , maka prinsip deret hitung bisa di terapkan.

sebuah deret hitung jika S 5 = 70 dan S 7 = 462 hitunglah :
a) nilai a
b) nilai b
pengganda sebuah deret ukur nilainya 5 . jika S 6 = 6250
a) nilai S 1
b) nilai J 5


Contoh : Perusahaan genteng “ Prima” menghasilkan 3.000 buah genteng pada bulan pertama prouksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu menambah jumlah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa buah genteng yang dihasilkannya pada bulan ke lima ? Dan berapa buah jumlah keseluruhan genteng yang telah dihasilkan sampai bulan ke lima tersebut ?

Jawab : a = 3.000 b = 500 n = 5
S n = a + ( n – 1 ) b = 3.000 + (5-1) 500 = 5.000
J n = n/2 ( a + S n ) = 5/2 ( 3.000 + 5.000 ) = 20.000

Jadi jumlah produksi pada bulan ke – 5 sebesar 5.000 genteng.
Sedangkan jumlah seluruh genteng yang telah dihasilkan sampai bulan ke – 5 sebanyak 20.000 buah genteng.

Ad. b. Deret Ukur

Deret Ukur adalah deret yang perubahan sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu.
Pengganda : merupakan hasil bagi nilai suku terhadap suku yang di depannya.

Rumus suku ke-n dari deret ukur :  S n = a p n - 1

a = Suku pertama p = Pengganda n = Indeks Suku
Jumlah n suku dari deret ukur :


atau

Untuk I p I < 1 Untuk I p I > 1

Penerapan Bunga Majemuk



P = Jumlah Sekarang
i = Tingkat bunga per tahun n = Jumlah tahun
Fn = Jumlah keseluruhan uang setelah n tahun

Fn = S n + 1 P = a atau S1 dlm deret ukur

m = frekuensi pembayaran bunga dalam satu tahun


atau
P = nilai sekarang ( present value)
1 . disebut discount factor (df)
( 1 + i ) n

Contoh : Seorang nasabah meminjam uang di bank sebesar Rp. 5 juta untuk jangka waktu 3 tahun. Tingkat bunga 2 % per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dibayar pada saat pelunasan ? Jika perhitungan pembayaran bunga dihitung setiap semester, berapa jumlah uang yang haris dikembalikan ?





Jawab :
P = 5.000.000 n = 3 i = 2 % = 0,02

Fn = P ( 1 + i ) n = 5.000.000 ( 1 + 0,02 ) 3 = 5.306.040

Jadi pada saat pelunasan, setelah 3 tahun keseluruhan uang yang harus dikembalikan sebesar Rp. 5.306.040,00.

Jika bunga diperhitungkan per semester, m = 2 berarti m.n = (2).(3) = 6

Fn = P ( 1 + ) m n = 5.000.000 ( 1 + ) 6 = 5.307.600

Jumlah yang harus dibayar 3 tahun kemudian sebesar
Rp. 5.307.600,00

Model Pertumbuhan Penduduk

P1 = Jumlah pada tahun pertama (basis)
Pt = Jumlah pada tahun ke-t
r = Persentase pertumbuhan per tahun
t = Indeks waktu (tahun)
Di mana R = 1 + r

Contoh : Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada Tahun 1991. Tingkat pertumbuhan nya 4 % per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada Tahun 2006 ? Jika mulai Tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5 %, berapa jumlah penduduk 11 tahun kemudian ?

1. Seorang nasabah meminjam uang di Bank sebesar Rp. 10 juta dengan jangka waktu pengembalian 5 tahun. Tingkat bunga pinjaman yang berlaku 12 persen per tahun.
Pertanyaan ;
a) berapakah besarnya pinjaman nasabah pada tahun ke 3 ?
b) setelah 3 tahun perhitungan bunganya berubah menjadi setiap 3 bulan sekali, berapakah besarnya pinjaman pada saat jatuh tempo ?

2. sebuah perusahaan akan membeli gudang. cara pembayaran dapat dialkukan dengan 3 pilihan sebagai berikut :
A. jika di bayar tunai maka harga gudang sebesar Rp. 200 juta
B. Jika di bayar 3 tahun yang akan datang maka harga gudang menjadi Rp.280 juta
C. jika di bayar tunda 5 tahun yang akan datang, harganya menjadi Rp.425 juta
pertanyaan :
cara pembayaran manakah yang paling efisien bagi perusahaan ? berikan saran dengan perhitungan dan penjelasannya !
3. jumlah penduduk Indonesia pada Tahun 2010 sebanyak 243 juta jiwa. jika pertumbuhan penduduk per tahun sebesar 4 persen.
a). berapakah perkiraan jumlah penduduk pada tahun 2013 ?
b). jika pada Tahun 2014 pertumbuhan penduduk menurun menjadi 3 persen per tahun, berapakah jumlah penduduk Indonesia pada Tahun 2017 ?






Jawab :
P 1 = 1.000.000 r = 4 % = 0,04 R = 1 + r = 1 + 0,04 = 1,04
Pt = P1 R t –1  P16 = 1.000.000 (1,04)16 – 1 = 1.800.943
Jadi jumlah penduduk kota tersebut pada Tahun 2006 sebesar 1.800.943 jiwa.
P 1 = 1.800.943 r = 2,5 % = 0,025 R = 1 + r = 1 + 0,025 = 1,025
P11 = P1 R 11 – 1 = 1.800.943 ( 1,025 ) 10 = 2.305.359
Jadi jumlah penduduk 11 tahun kemudian sebanyak 2.305.359 jiwa

PERMUTASI DAN KOMBINASI

A. PERMUTASI
Adalah penyusunan obyek-obyek ke dalam urutan atau susunan tertentu
Syarat permutasi : obyek-obyeknya harus dapat dibedakan
Contoh : Dalam berapa carakah, tiga orang dapat duduk di atas 3 buah kursi yang tersedia.

A B C
A C B
B A C
B C A
C A B
C B A
Ingat dengan faktorial ( ! )  3 ! = 3 x 2 x 1 = 6 cara
1. Asas Perkalian
Jika ada beberapa peristiwa pemilihan ( k pemilihan ), maka banyaknya cara yang bisa terjadi dari keseluruhan peristiwa yang dilakukan sekaligus, dapat digunakan asas perkalian. Yang dihitung dengan rumus sebagai berikut :
Peristiwa 1  n 1 cara Keseluruhan permutasi =
Peristiwa 2  n 2 cara n 1 x n 2 x n 3 x … x n k cara
Peristiwa 3  n 3 cara
………….
Peristiwa k  n k cara
Contoh : seseorang yang akan melakukan perjalanan keliling Pulau Jawa dari dengan route Jkt – Bdg bisa dilalui dengan 3 cara, Bdg – Ygy bisa dilalui dengan 4 cara, Ygy – Sby bisa dilalui dengan 3 cara, Sby – Smg bisa dilalui dengan 4 cara dan Smg – Jkt bisa dilalui dengan 2 cara. Maka dalam berapa cara perjalanan tersebut bisa dilakukan ?
Perjalanan tersebut bisa dilakukan dalam 3 x 4 x 3 x 4 x 2 = 288 cara atau alternatif perjalanan.

2. Asas Penjumlahan
Dalam asas ini tidak dilakukan sekaligus, tetapi masing-masing peristiwa pemilihan terjadinya salah satu. Jika ada beberapa peristiwa pemilihan ( k pemilihan ), maka banyaknya cara yang bisa terjadi dari peristiwa-peristiwa tersebut, yang dilakukan tidak sekaligus, dapat digunakan asas penjumlahan. Dan dihitung dengan rumus sebagai berikut :
Peristiwa 1  n 1 cara Permutasinya =
Peristiwa 2  n 2 cara n 1 + n 2 + n 3 + … + n k cara
Peristiwa 3  n 3 cara
………….
Peristiwa k  n k cara
Contoh : Sebuah restoran dapat menyediakan 4 macam makanan / kue dan 5 macam minuman. Maka berapakah :
a. Jumlah hidangan makanan dan minuman yang dapat dipilih ?
b. Jumlah hidangan, jika hanya satu macam saja yang dapat dipilih ?
Jawab : a. 4 x 5 = 20 macam hidangan yang berbeda
c. 4 + 5 = 9 macam hidangan yang berbeda

3. Permutasi atas Seluruh Obyek
Jika seluruh obyek dipermutasikan, maka banyaknya susunan yang bisa dibuat adalah :
P = n !
4. Permutasi atas Sebagian Obyek
P =

5. Permutasi keliling
P n = ( n – 1 ) !

6. Permutasi dari Obyek yang tidak seluruhnya berbeda
P ( n I k1, k2, … , k r ) =
Dimana : k1 + k2 + … + k r = n
k = obyek yang sama
7. Permutasi dari Obyek dengan pemulihan
R = n r

B. KOMBINASI
Kombinasi adalah himpunan obyek yang ada tanpa memperhatikan urutan.

Dalam kombinasi yang diperhatikan hanya unsur himpunannya.

1. n obyek yang berbeda, dikombinasikan sekaligus

C = 1

2. n obyek yang berbeda, dikombinasikan sebagian ( r )

C =

>>Baca Selengkapnya

BAB V. KONSEP DERET DAN PENERAPANNYA

5.1. Pengertian Deret

Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah tertentu.
Suku adalah bilangan yang merupakan unsur pembentuk deret.

Deret menurut jumlah sukunya dibagi 2 :
1. Deret berhingga  Deret yang suku-sukunya tertentu.
2. Deret tak berhingga  Deret yang jumlah suku-sukunya tak terbatas .
Deret yang paling sering digunakan adalah
a. Deret hitung
b. Deret ukur

Ad. a. Deret hitung

Deret Hitung adalah deret yang perubahan sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu.
Pembeda : Bilangan yang membedakan antar suku dari deret hitung.

Rumus suku ke – n dari deret hitung :  S n = a + ( n – 1 ) b

a = Suku pertama / S1 n = Indeks suku
b = Pembeda S n = Suku ke- n dari deret hitung

Jumlah n suku dari deret hitung  J n = n/2 { 2 a + ( n – 1 ) b }
J n = n/2 ( a + S n )
J n = n a + n/2 ( n – 1 ) b



 Penerapan Deret Hitung

Jika perkembangan variable tertentu dalam kegiatan usaha seperti : produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja atau penanaman modal berpola deret hitung , maka prinsip deret hitung bisa di terapkan.

sebuah deret hitung jika S 5 = 70 dan S 7 = 462 hitunglah :
a) nilai a
b) nilai b
pengganda sebuah deret ukur nilainya 5 . jika S 6 = 6250
a) nilai S 1
b) nilai J 5


Contoh : Perusahaan genteng “ Prima” menghasilkan 3.000 buah genteng pada bulan pertama prouksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu menambah jumlah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa buah genteng yang dihasilkannya pada bulan ke lima ? Dan berapa buah jumlah keseluruhan genteng yang telah dihasilkan sampai bulan ke lima tersebut ?

Jawab : a = 3.000 b = 500 n = 5
S n = a + ( n – 1 ) b = 3.000 + (5-1) 500 = 5.000
J n = n/2 ( a + S n ) = 5/2 ( 3.000 + 5.000 ) = 20.000

Jadi jumlah produksi pada bulan ke – 5 sebesar 5.000 genteng.
Sedangkan jumlah seluruh genteng yang telah dihasilkan sampai bulan ke – 5 sebanyak 20.000 buah genteng.

Ad. b. Deret Ukur

Deret Ukur adalah deret yang perubahan sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu.
Pengganda : merupakan hasil bagi nilai suku terhadap suku yang di depannya.

Rumus suku ke-n dari deret ukur :  S n = a p n - 1

a = Suku pertama p = Pengganda n = Indeks Suku
Jumlah n suku dari deret ukur :


atau

Untuk I p I < 1 Untuk I p I > 1

Penerapan Bunga Majemuk



P = Jumlah Sekarang
i = Tingkat bunga per tahun n = Jumlah tahun
Fn = Jumlah keseluruhan uang setelah n tahun

Fn = S n + 1 P = a atau S1 dlm deret ukur

m = frekuensi pembayaran bunga dalam satu tahun


atau
P = nilai sekarang ( present value)
1 . disebut discount factor (df)
( 1 + i ) n

Contoh : Seorang nasabah meminjam uang di bank sebesar Rp. 5 juta untuk jangka waktu 3 tahun. Tingkat bunga 2 % per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dibayar pada saat pelunasan ? Jika perhitungan pembayaran bunga dihitung setiap semester, berapa jumlah uang yang haris dikembalikan ?





Jawab :
P = 5.000.000 n = 3 i = 2 % = 0,02

Fn = P ( 1 + i ) n = 5.000.000 ( 1 + 0,02 ) 3 = 5.306.040

Jadi pada saat pelunasan, setelah 3 tahun keseluruhan uang yang harus dikembalikan sebesar Rp. 5.306.040,00.

Jika bunga diperhitungkan per semester, m = 2 berarti m.n = (2).(3) = 6

Fn = P ( 1 + ) m n = 5.000.000 ( 1 + ) 6 = 5.307.600

Jumlah yang harus dibayar 3 tahun kemudian sebesar
Rp. 5.307.600,00

Model Pertumbuhan Penduduk

P1 = Jumlah pada tahun pertama (basis)
Pt = Jumlah pada tahun ke-t
r = Persentase pertumbuhan per tahun
t = Indeks waktu (tahun)
Di mana R = 1 + r

Contoh : Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada Tahun 1991. Tingkat pertumbuhan nya 4 % per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada Tahun 2006 ? Jika mulai Tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5 %, berapa jumlah penduduk 11 tahun kemudian ?

1. Seorang nasabah meminjam uang di Bank sebesar Rp. 10 juta dengan jangka waktu pengembalian 5 tahun. Tingkat bunga pinjaman yang berlaku 12 persen per tahun.
Pertanyaan ;
a) berapakah besarnya pinjaman nasabah pada tahun ke 3 ?
b) setelah 3 tahun perhitungan bunganya berubah menjadi setiap 3 bulan sekali, berapakah besarnya pinjaman pada saat jatuh tempo ?

2. sebuah perusahaan akan membeli gudang. cara pembayaran dapat dialkukan dengan 3 pilihan sebagai berikut :
A. jika di bayar tunai maka harga gudang sebesar Rp. 200 juta
B. Jika di bayar 3 tahun yang akan datang maka harga gudang menjadi Rp.280 juta
C. jika di bayar tunda 5 tahun yang akan datang, harganya menjadi Rp.425 juta
pertanyaan :
cara pembayaran manakah yang paling efisien bagi perusahaan ? berikan saran dengan perhitungan dan penjelasannya !
3. jumlah penduduk Indonesia pada Tahun 2010 sebanyak 243 juta jiwa. jika pertumbuhan penduduk per tahun sebesar 4 persen.
a). berapakah perkiraan jumlah penduduk pada tahun 2013 ?
b). jika pada Tahun 2014 pertumbuhan penduduk menurun menjadi 3 persen per tahun, berapakah jumlah penduduk Indonesia pada Tahun 2017 ?






Jawab :
P 1 = 1.000.000 r = 4 % = 0,04 R = 1 + r = 1 + 0,04 = 1,04
Pt = P1 R t –1  P16 = 1.000.000 (1,04)16 – 1 = 1.800.943
Jadi jumlah penduduk kota tersebut pada Tahun 2006 sebesar 1.800.943 jiwa.
P 1 = 1.800.943 r = 2,5 % = 0,025 R = 1 + r = 1 + 0,025 = 1,025
P11 = P1 R 11 – 1 = 1.800.943 ( 1,025 ) 10 = 2.305.359
Jadi jumlah penduduk 11 tahun kemudian sebanyak 2.305.359 jiwa

PERMUTASI DAN KOMBINASI

A. PERMUTASI
Adalah penyusunan obyek-obyek ke dalam urutan atau susunan tertentu
Syarat permutasi : obyek-obyeknya harus dapat dibedakan
Contoh : Dalam berapa carakah, tiga orang dapat duduk di atas 3 buah kursi yang tersedia.

A B C
A C B
B A C
B C A
C A B
C B A
Ingat dengan faktorial ( ! )  3 ! = 3 x 2 x 1 = 6 cara
1. Asas Perkalian
Jika ada beberapa peristiwa pemilihan ( k pemilihan ), maka banyaknya cara yang bisa terjadi dari keseluruhan peristiwa yang dilakukan sekaligus, dapat digunakan asas perkalian. Yang dihitung dengan rumus sebagai berikut :
Peristiwa 1  n 1 cara Keseluruhan permutasi =
Peristiwa 2  n 2 cara n 1 x n 2 x n 3 x … x n k cara
Peristiwa 3  n 3 cara
………….
Peristiwa k  n k cara
Contoh : seseorang yang akan melakukan perjalanan keliling Pulau Jawa dari dengan route Jkt – Bdg bisa dilalui dengan 3 cara, Bdg – Ygy bisa dilalui dengan 4 cara, Ygy – Sby bisa dilalui dengan 3 cara, Sby – Smg bisa dilalui dengan 4 cara dan Smg – Jkt bisa dilalui dengan 2 cara. Maka dalam berapa cara perjalanan tersebut bisa dilakukan ?
Perjalanan tersebut bisa dilakukan dalam 3 x 4 x 3 x 4 x 2 = 288 cara atau alternatif perjalanan.

2. Asas Penjumlahan
Dalam asas ini tidak dilakukan sekaligus, tetapi masing-masing peristiwa pemilihan terjadinya salah satu. Jika ada beberapa peristiwa pemilihan ( k pemilihan ), maka banyaknya cara yang bisa terjadi dari peristiwa-peristiwa tersebut, yang dilakukan tidak sekaligus, dapat digunakan asas penjumlahan. Dan dihitung dengan rumus sebagai berikut :
Peristiwa 1  n 1 cara Permutasinya =
Peristiwa 2  n 2 cara n 1 + n 2 + n 3 + … + n k cara
Peristiwa 3  n 3 cara
………….
Peristiwa k  n k cara
Contoh : Sebuah restoran dapat menyediakan 4 macam makanan / kue dan 5 macam minuman. Maka berapakah :
a. Jumlah hidangan makanan dan minuman yang dapat dipilih ?
b. Jumlah hidangan, jika hanya satu macam saja yang dapat dipilih ?
Jawab : a. 4 x 5 = 20 macam hidangan yang berbeda
c. 4 + 5 = 9 macam hidangan yang berbeda

3. Permutasi atas Seluruh Obyek
Jika seluruh obyek dipermutasikan, maka banyaknya susunan yang bisa dibuat adalah :
P = n !
4. Permutasi atas Sebagian Obyek
P =

5. Permutasi keliling
P n = ( n – 1 ) !

6. Permutasi dari Obyek yang tidak seluruhnya berbeda
P ( n I k1, k2, … , k r ) =
Dimana : k1 + k2 + … + k r = n
k = obyek yang sama
7. Permutasi dari Obyek dengan pemulihan
R = n r

B. KOMBINASI
Kombinasi adalah himpunan obyek yang ada tanpa memperhatikan urutan.

Dalam kombinasi yang diperhatikan hanya unsur himpunannya.

1. n obyek yang berbeda, dikombinasikan sekaligus

C = 1

2. n obyek yang berbeda, dikombinasikan sebagian ( r )

C =

>>Baca Selengkapnya