BAB V. KONSEP DERET DAN PENERAPANNYA

5.1. Pengertian Deret

Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah tertentu.
Suku adalah bilangan yang merupakan unsur pembentuk deret.

Deret menurut jumlah sukunya dibagi 2 :
1. Deret berhingga  Deret yang suku-sukunya tertentu.
2. Deret tak berhingga  Deret yang jumlah suku-sukunya tak terbatas .
Deret yang paling sering digunakan adalah
a. Deret hitung
b. Deret ukur

Ad. a. Deret hitung

Deret Hitung adalah deret yang perubahan sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu.
Pembeda : Bilangan yang membedakan antar suku dari deret hitung.

Rumus suku ke – n dari deret hitung :  S n = a + ( n – 1 ) b

a = Suku pertama / S1 n = Indeks suku
b = Pembeda S n = Suku ke- n dari deret hitung

Jumlah n suku dari deret hitung  J n = n/2 { 2 a + ( n – 1 ) b }
J n = n/2 ( a + S n )
J n = n a + n/2 ( n – 1 ) b



 Penerapan Deret Hitung

Jika perkembangan variable tertentu dalam kegiatan usaha seperti : produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja atau penanaman modal berpola deret hitung , maka prinsip deret hitung bisa di terapkan.

sebuah deret hitung jika S 5 = 70 dan S 7 = 462 hitunglah :
a) nilai a
b) nilai b
pengganda sebuah deret ukur nilainya 5 . jika S 6 = 6250
a) nilai S 1
b) nilai J 5


Contoh : Perusahaan genteng “ Prima” menghasilkan 3.000 buah genteng pada bulan pertama prouksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu menambah jumlah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa buah genteng yang dihasilkannya pada bulan ke lima ? Dan berapa buah jumlah keseluruhan genteng yang telah dihasilkan sampai bulan ke lima tersebut ?

Jawab : a = 3.000 b = 500 n = 5
S n = a + ( n – 1 ) b = 3.000 + (5-1) 500 = 5.000
J n = n/2 ( a + S n ) = 5/2 ( 3.000 + 5.000 ) = 20.000

Jadi jumlah produksi pada bulan ke – 5 sebesar 5.000 genteng.
Sedangkan jumlah seluruh genteng yang telah dihasilkan sampai bulan ke – 5 sebanyak 20.000 buah genteng.

Ad. b. Deret Ukur

Deret Ukur adalah deret yang perubahan sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu.
Pengganda : merupakan hasil bagi nilai suku terhadap suku yang di depannya.

Rumus suku ke-n dari deret ukur :  S n = a p n - 1

a = Suku pertama p = Pengganda n = Indeks Suku
Jumlah n suku dari deret ukur :


atau

Untuk I p I < 1 Untuk I p I > 1

Penerapan Bunga Majemuk



P = Jumlah Sekarang
i = Tingkat bunga per tahun n = Jumlah tahun
Fn = Jumlah keseluruhan uang setelah n tahun

Fn = S n + 1 P = a atau S1 dlm deret ukur

m = frekuensi pembayaran bunga dalam satu tahun


atau
P = nilai sekarang ( present value)
1 . disebut discount factor (df)
( 1 + i ) n

Contoh : Seorang nasabah meminjam uang di bank sebesar Rp. 5 juta untuk jangka waktu 3 tahun. Tingkat bunga 2 % per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dibayar pada saat pelunasan ? Jika perhitungan pembayaran bunga dihitung setiap semester, berapa jumlah uang yang haris dikembalikan ?





Jawab :
P = 5.000.000 n = 3 i = 2 % = 0,02

Fn = P ( 1 + i ) n = 5.000.000 ( 1 + 0,02 ) 3 = 5.306.040

Jadi pada saat pelunasan, setelah 3 tahun keseluruhan uang yang harus dikembalikan sebesar Rp. 5.306.040,00.

Jika bunga diperhitungkan per semester, m = 2 berarti m.n = (2).(3) = 6

Fn = P ( 1 + ) m n = 5.000.000 ( 1 + ) 6 = 5.307.600

Jumlah yang harus dibayar 3 tahun kemudian sebesar
Rp. 5.307.600,00

Model Pertumbuhan Penduduk

P1 = Jumlah pada tahun pertama (basis)
Pt = Jumlah pada tahun ke-t
r = Persentase pertumbuhan per tahun
t = Indeks waktu (tahun)
Di mana R = 1 + r

Contoh : Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada Tahun 1991. Tingkat pertumbuhan nya 4 % per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada Tahun 2006 ? Jika mulai Tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5 %, berapa jumlah penduduk 11 tahun kemudian ?

1. Seorang nasabah meminjam uang di Bank sebesar Rp. 10 juta dengan jangka waktu pengembalian 5 tahun. Tingkat bunga pinjaman yang berlaku 12 persen per tahun.
Pertanyaan ;
a) berapakah besarnya pinjaman nasabah pada tahun ke 3 ?
b) setelah 3 tahun perhitungan bunganya berubah menjadi setiap 3 bulan sekali, berapakah besarnya pinjaman pada saat jatuh tempo ?

2. sebuah perusahaan akan membeli gudang. cara pembayaran dapat dialkukan dengan 3 pilihan sebagai berikut :
A. jika di bayar tunai maka harga gudang sebesar Rp. 200 juta
B. Jika di bayar 3 tahun yang akan datang maka harga gudang menjadi Rp.280 juta
C. jika di bayar tunda 5 tahun yang akan datang, harganya menjadi Rp.425 juta
pertanyaan :
cara pembayaran manakah yang paling efisien bagi perusahaan ? berikan saran dengan perhitungan dan penjelasannya !
3. jumlah penduduk Indonesia pada Tahun 2010 sebanyak 243 juta jiwa. jika pertumbuhan penduduk per tahun sebesar 4 persen.
a). berapakah perkiraan jumlah penduduk pada tahun 2013 ?
b). jika pada Tahun 2014 pertumbuhan penduduk menurun menjadi 3 persen per tahun, berapakah jumlah penduduk Indonesia pada Tahun 2017 ?






Jawab :
P 1 = 1.000.000 r = 4 % = 0,04 R = 1 + r = 1 + 0,04 = 1,04
Pt = P1 R t –1  P16 = 1.000.000 (1,04)16 – 1 = 1.800.943
Jadi jumlah penduduk kota tersebut pada Tahun 2006 sebesar 1.800.943 jiwa.
P 1 = 1.800.943 r = 2,5 % = 0,025 R = 1 + r = 1 + 0,025 = 1,025
P11 = P1 R 11 – 1 = 1.800.943 ( 1,025 ) 10 = 2.305.359
Jadi jumlah penduduk 11 tahun kemudian sebanyak 2.305.359 jiwa

PERMUTASI DAN KOMBINASI

A. PERMUTASI
Adalah penyusunan obyek-obyek ke dalam urutan atau susunan tertentu
Syarat permutasi : obyek-obyeknya harus dapat dibedakan
Contoh : Dalam berapa carakah, tiga orang dapat duduk di atas 3 buah kursi yang tersedia.

A B C
A C B
B A C
B C A
C A B
C B A
Ingat dengan faktorial ( ! )  3 ! = 3 x 2 x 1 = 6 cara
1. Asas Perkalian
Jika ada beberapa peristiwa pemilihan ( k pemilihan ), maka banyaknya cara yang bisa terjadi dari keseluruhan peristiwa yang dilakukan sekaligus, dapat digunakan asas perkalian. Yang dihitung dengan rumus sebagai berikut :
Peristiwa 1  n 1 cara Keseluruhan permutasi =
Peristiwa 2  n 2 cara n 1 x n 2 x n 3 x … x n k cara
Peristiwa 3  n 3 cara
………….
Peristiwa k  n k cara
Contoh : seseorang yang akan melakukan perjalanan keliling Pulau Jawa dari dengan route Jkt – Bdg bisa dilalui dengan 3 cara, Bdg – Ygy bisa dilalui dengan 4 cara, Ygy – Sby bisa dilalui dengan 3 cara, Sby – Smg bisa dilalui dengan 4 cara dan Smg – Jkt bisa dilalui dengan 2 cara. Maka dalam berapa cara perjalanan tersebut bisa dilakukan ?
Perjalanan tersebut bisa dilakukan dalam 3 x 4 x 3 x 4 x 2 = 288 cara atau alternatif perjalanan.

2. Asas Penjumlahan
Dalam asas ini tidak dilakukan sekaligus, tetapi masing-masing peristiwa pemilihan terjadinya salah satu. Jika ada beberapa peristiwa pemilihan ( k pemilihan ), maka banyaknya cara yang bisa terjadi dari peristiwa-peristiwa tersebut, yang dilakukan tidak sekaligus, dapat digunakan asas penjumlahan. Dan dihitung dengan rumus sebagai berikut :
Peristiwa 1  n 1 cara Permutasinya =
Peristiwa 2  n 2 cara n 1 + n 2 + n 3 + … + n k cara
Peristiwa 3  n 3 cara
………….
Peristiwa k  n k cara
Contoh : Sebuah restoran dapat menyediakan 4 macam makanan / kue dan 5 macam minuman. Maka berapakah :
a. Jumlah hidangan makanan dan minuman yang dapat dipilih ?
b. Jumlah hidangan, jika hanya satu macam saja yang dapat dipilih ?
Jawab : a. 4 x 5 = 20 macam hidangan yang berbeda
c. 4 + 5 = 9 macam hidangan yang berbeda

3. Permutasi atas Seluruh Obyek
Jika seluruh obyek dipermutasikan, maka banyaknya susunan yang bisa dibuat adalah :
P = n !
4. Permutasi atas Sebagian Obyek
P =

5. Permutasi keliling
P n = ( n – 1 ) !

6. Permutasi dari Obyek yang tidak seluruhnya berbeda
P ( n I k1, k2, … , k r ) =
Dimana : k1 + k2 + … + k r = n
k = obyek yang sama
7. Permutasi dari Obyek dengan pemulihan
R = n r

B. KOMBINASI
Kombinasi adalah himpunan obyek yang ada tanpa memperhatikan urutan.

Dalam kombinasi yang diperhatikan hanya unsur himpunannya.

1. n obyek yang berbeda, dikombinasikan sekaligus

C = 1

2. n obyek yang berbeda, dikombinasikan sebagian ( r )

C =