menu

Welcome...Pasang Status Facebook Sahabat Disini

Jumat, 17 Februari 2012

BAB IX. DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA



9.1. Pengertian

 Diferensial : Membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi, sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan ( X dibaca delta X ).

 Diferensial : Dapat juga digunakan untuk mempelajari titik maksimum, titik minimum, dan titik belok. Oleh karena itu diferensial merupakan salah satu alat analisis yang penting dalam bisnis dan ekonomi.

 Diferensial / Turunan dilambangkan sebagai berikut :

a. b. limit c. y 1 d. f 1 (x) e.

dimana X 0

Diferensiasi adalah proses penurunan sebuah fungsi

9.2. Kaidah-kaidah Diferensiasi

1. Diferensiasi Konstanta

Jika y = k y ‘ = 0 y = 5 y ‘ = 0

2. Diferensiasi Fungsi Pangkat

Jika y = x n y ‘ = n x n-1 y = x 3 y ‘ = 3 x 3-1 = 3 x 2

3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi
Jika y = k v dimana v = h (x) y ’ = k
y = 5 x 3 y ’ = 5 ( 3 x 3-1 ) = 15 x 2
4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi
Jika y = dimana v = h (x) y ‘ =
y = y ’ = = =
5. Diferensiasi perkalian fungsi
y = u v u = g (x) dan v = h (x)
= u v ‘ + v u ‘
y = 4 x 2 ( x 3 ) y ‘ = 4 ( x 2 ) ( 3 x 2 ) + ( x 3 ) 4 ( 2 x )
= 12 x 4 + 8 x 4 = 20 x 4

6. Diferensiasi pembagian fungsi
y = =
y = y ’ = =

7. Diferensiasi fungsi komposit (fungsi di dalam fungsi)
y = f(U) y = f {g(x)} = .
y = ( 4 x 3 + 5 ) 2 y ‘ = 2 ( 4 x 3 + 5 ) .12 x 2
= (8 x 3 + 10).12 x 2 = 96 x 5 + 120 x 2

8. Diferensiasi fungsi pangkat
y = u n dimana u = g (x) = n u n – 1 .
y = ( 4 x 3 + 5 ) 2 y’ = 2 ( 4 x 3 + 5 ).12 x 2
= ( 8 x 3 + 10 ).12 x 2 = 96 x 3 + 120 x 2

9. Fungsi Log
y = a log x y ’ =
y = 5 log 2 y’ =

10. Fungsi y = a log u y ‘ = .

11. y = ( a log u) n y ‘ = .


12. y = ln x y ‘ =

13. y = ln u y ‘ = .

14. y = (ln u) n y ‘ = . .

15. y = a x y ‘ = a x ln a

16. y = a 4 y ‘ = a u ln a

17. y = u v y ‘ = v u v-1 . + u v ln u .

18. Fungsi Invers y = f(x) dan x = g(y) adalah fungsi yang saling berbalikan =

Latihan lihat dumairy hal 207 no. 1 s/d no. 10

Turunan pertama = = y ‘
Turunan kedua = = y ‘’
Turunan ketiga = = y ‘’’ dst.

9.3. Hubungan Antar Fungsi dan Derivatifnya

Y = x 3 – 4 x 2 + 12 x – 5 Fungsi kubik
Y ‘ = x 2 – 8 x + 12 Fungsi kuadrat (turunan pertamanya)
Y ‘’ = 2 x – 8 Fungsi linier (turunan keduanya)
Y ‘’’ = 2 Konstanta (turunan ketiganya)


1. Fungsi Menaik dan Menurun pada fungsi non linier

 Turunan pertama dari fungsi non linier dapat dipergunakan untuk menentukan apakah kurvanya menaik atau menurun dan menentukan letak titik ekstrim.

Jika nilai y I > 0 fungsi menaik
Y I < 0 fungsi menurun
Y I = 0 berada pada titik ekstrim
jika f I (a) > 0 untuk x < a
titik ekstrimnya titik maksimum
jika f I (a) < 0 untuk x > a

jika f I (a) > 0 untuk x > a
titik ekstrimnya titik minimum
jika f I (a) < 0 untuk x < a

Contoh :
Y = f (x) = x 3 – 4 x 2 + 12 x – 5
Apakah fungsi menaik atau fungsi menurun pada x = 5 dan x = 7 dan selidiki juga pada x = 6
Y ‘ = f ‘ (x) = x 2 – 8 x + 12
f ‘ (5) = (5) 2 – 8 (5) + 12 = - 3 < 0 maka f (x) tsb. Menurun pada x = 5
f ‘ (7) = (7) 2 – 8 (7) + 12 = 5 > 0 maka f (x) tsb. Menaik pada x = 7
f ‘ (6) = (6) 2 – 8 (6) + 12 = 0 maka f (x) tsb. berada pada titik ekstrim
karena f ’ (x) < 0 untuk x < 6 dan f ’ (x) > 0 untuk x > 6
maka titik ekstrimnya adalah titik minimum

2. Titik Ekstrim Fungsi Parabolik

Fungsi Parabola y = f (x) akan mencapai titik ekstrim pada y ‘ = 0
 Jika y ‘’ < 0 parabola terbuka ke bawah (titik maksimum)
 Jika y ‘’ > 0 parabola terbuka ke atas (titik minimum)

Contoh :
i. y = x 2 – 8 x + 12 y ‘ = 2 x - 8 y ‘’ = 2 > 0 titik minimum
ii. y = - x 2 + 6 x + 4 y ‘ = - 2 x + 6 y ‘’ = - 2 < 0 titik maksimum

3. Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik

Fungsi kubik y = f ( x ) mencapai titik ekstrim pada y ‘ = 0
 Jika y ‘’ < 0 pada y ‘ = 0 titik ekstrimnya maksimum
 Jika y ‘’ > 0 pada y ‘ = 0 titik ekstrimnya minimum

Fungsi kubik ada pada titik belok pada y ‘’ = 0

Contoh :
f (x) = x 3 – 3 x 2 + 8 x – 3  fungsi kubik
Jika y ‘ = 0  x 2 – 6 x + 8 = 0  (x – 2) (x – 4) = 0  x 1 = 2 dan x 2 = 4

 Untuk x = 2  y ‘’ = 2 x – 6 = 2 (2) – 6 = - 2 < 0
 Untuk x = 2  y = f (2) = (2) 3 – 3 (2) 2 + 8 (2) – 3 = 3,67
 maka pada titik (2; 3,67) fungsi tsb. ada pada titik maksimum

 untuk x = 4  y ‘’ = 2 x – 6 = 2 (4) – 6 = 2 > 0
 untuk x = 4  y = f ( 4) = (4) 3 – 3 (4) 2 + 8 (4) – 3 = 2,33
 maka pada titik (4; 2,33) fungsi tsb. ada pada titik minimum

Latihan : dumairy hal 219, 220

9.4. Penerapan Ekonomi Diferensial

1. Elastisitas
 Elastisitas merupakan persentase perubahan y yang disebabkan oleh persentase perubahan x.
Rumus Elastisitas = .
a). Elastisitas Permintaan adalah besarnya perubahan jumlah permintaan barang, akibat adanya perubahan harga.
 Rumus elastisitas permintaan d = .
Elastis jika d > 1
Inelastis jika d < 1
Uniter jika d = 1

 Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang Q = 25 – 3 P 2
Tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 5.
 Jawab : d = . = ( - 6 P ) = - 6 (5) = 3
d = 3 ( elastis ) artinya pada kedudukan harga P = 5, jika harga barang naik sebesar 1 %, maka permintaannya akan turun sebanyak 3 % .

b). Elastisitas Penawaran adalah adalah besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan, jika ada perubahan harga.
 Rumus Elastisitas Penawaran s = .
 Contoh : Fungsi penawaran suatu barang diperlihatkan oleh Q = - 200 + 7 P 2
Tentukan elastisitas penawarannya, pada tingkat harga P = 10
 Jawab : s = . = ( 14 P )
 Pada P = 10 s = (14)(10) = 2,8 ( elastis )
 s = 2,8 artinya pada kedudukan harga P = 10, jika harga barang naik 1 % , maka jumlah barang yang ditawarkan juga akan naik sebanyak 2,8 %.

c). Elastisitas Produksi adalah besarnya perubahan jumlah output yang dihasilkan, karena adanya perubahan jumlah input.
 Rumus Elastisitas Produksi = .
 Contoh : Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan P = 6 X 2 – X3 Hitung elastisitas produksinya, pada tingkat penggunaan faktor produksi (input) sebesar X = 3
 Jawab : s = . = ( 12 X – 3 X 2 )
 Pada X = 3 s = ( 12 . 3 – 3 . 3 2 ) = 1
 s = 1 (uniter) artinya pada tingkat penggunaan input X = 3 , jika input ditambah 1 %, maka jumlah produksi (output) juga akan bertambah 1 %.

2. Biaya Marjinal / Marginal Cost ( MC )

 Biaya Marjinal ( MC ) adalah besarnya biaya yang harus ditambahkan , jika jumlah produksi ditambah 1 unit.
 Rumus biaya marjinal MC = TC I = dan MC minimum jika MC I = 0
 Contoh : Biaya total (TC) = f (Q) = Q 3 – 3 Q 2 + 4 Q + 4
Biaya Marjinal (MC) = TC ‘ = 3 Q 2 – 6 Q + 4
Pada tingkat produksi/ penjualan berapakah biaya marjinal minimum ?
Berapa besarnya biaya marjinal minimum tersebut ?

 Jawab :
MC minimum pad MC ‘ = 0
MC ‘ = 6 Q – 6 = 0 6 Q = 6 Q = 1 MC minimum
MC minimum = 3 Q 2 – 6 Q + 4 = 3 ( 1 ) 2 – 6 ( 1 ) + 4 = 6

 Jadi besarnya biaya marjinal minimum sebesar RP. 6 pada tingkat produksi 1 unit.

3. Penerimaan Marginal / Marginal Revenu (MR)

 Penerimaan Marjinal adalah besarnya tambahan penerimaan, jika jumlah produksi atau barang yang terjual bertambah 1 unit.
 Rumus penerimaan marjinal MR = TR I = dan TR maks. Jika MR = 0

 Contoh : fungsi permintaan suatu barang P = 16 – 2 Q
Berapakah besarnya penerimaan maksimum ?

 Jawab : Fungsi Penerimaan Total (TR) = P.Q = (16 – 2 Q) (Q)
= 16 Q – 2 Q 2
Penerimaan Marjinal (MR) = TR ‘ = 16 – 4 Q
TR akan maksimum jika MR = 0 16 – 4 Q = 0
4 Q = 16 Q = 4
TR Maks = 16 Q – 2 Q 2 = 16 (4) – 2 (4) 2 = 32
 Jadi besarnya penerimaan total maksimum sebesar Rp. 32,00

4. Keuntungan Maksimum ( Maks. )

Fungsi keuntungan = TR – TC dan akan optimum jika I = 0
Jika ’’ < 0 maksimum = keuntungan maksimum
Jika ’’ > 0 minimum = kerugian maksimum

Contoh : jika fungsi penerimaan TR = - 2 Q 2 + 1000 Q
Dan fungsi biaya total TC = Q 3 – 59 Q 2 + 1315 Q + 2.000
Berapakah tingkat keuntungan maksimum ?

Jawab :
= TR – TC
= (- 2 Q 2 + 1000 Q) – (Q 3 – 59 Q 2 + 1315 Q + 2.000)
= - Q 3 + 57 Q 2 - 315 Q – 2.000

Keuntungan maks ’ = 0

’ = - 3 Q 2 + 114 Q – 315 = 0 - Q 2 + 38 Q – 105 = 0
( - 3 Q + 3 ) ( Q – 35 ) = 0
Q = 1

5. Utilitas Marginal MU  U I = MU = 0  U maksimum

6. Produk Marginal MP  P I = MP = 0  P maksimum

P Pada titik belok > jika MP I = 0, MP maks
Anda sedang membaca artikel tentang BAB IX. DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA dengan URL http://nakaku.blogspot.com/2012/02/bab-ix-diferensial-fungsi-sederhana.html, nakaku mengizinkan Anda untuk menyebar luaskannya atau copy-paste artikel BAB IX. DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA ini jika memang bermanfaat bagi anda dan orang lain, karena slogan nakaku "Menabur Ketulusan Menuai Kebahagiaan" namun jangan lupa untuk meletakkan link BAB IX. DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA sebagai sumbernya.
Berikan Komentar Sahabat Nakaku
Langganan Artikel Nakaku

Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Jika memang sahabat Nakaku mau copy artikel dan tidak untuk disalah gunakan ikuti langkah berikut :
1. Buka tools
2. option
3. content
4. hilangkan tanda centang enable javascript
5. Selesai

Ini juga berlaku buat blog2 lain yang gak bisa di copy paste koq .
Nakaku Update Ini Milik Fredian Maechosa/object>
|SELAMAT DATANG DI NAKAKU MEDIA|TEMPATNYA DOWNLOAD BAHAN KULIAH, PUISI, TRIK BLOG, SHARE PENGALAMAN DAN ILMU PENGETAHUAN|