BAB IX. DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

9.1. Pengertian

 Diferensial : Membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi, sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan ( X dibaca delta X ).

 Diferensial : Dapat juga digunakan untuk mempelajari titik maksimum, titik minimum, dan titik belok. Oleh karena itu diferensial merupakan salah satu alat analisis yang penting dalam bisnis dan ekonomi.

 Diferensial / Turunan dilambangkan sebagai berikut :

a. b. limit c. y 1 d. f 1 (x) e.

dimana X 0

Diferensiasi adalah proses penurunan sebuah fungsi

9.2. Kaidah-kaidah Diferensiasi

1. Diferensiasi Konstanta

Jika y = k y ‘ = 0 y = 5 y ‘ = 0

2. Diferensiasi Fungsi Pangkat

Jika y = x n y ‘ = n x n-1 y = x 3 y ‘ = 3 x 3-1 = 3 x 2

3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi
Jika y = k v dimana v = h (x) y ’ = k
y = 5 x 3 y ’ = 5 ( 3 x 3-1 ) = 15 x 2
4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi
Jika y = dimana v = h (x) y ‘ =
y = y ’ = = =
5. Diferensiasi perkalian fungsi
y = u v u = g (x) dan v = h (x)
= u v ‘ + v u ‘
y = 4 x 2 ( x 3 ) y ‘ = 4 ( x 2 ) ( 3 x 2 ) + ( x 3 ) 4 ( 2 x )
= 12 x 4 + 8 x 4 = 20 x 4

6. Diferensiasi pembagian fungsi
y = =
y = y ’ = =

7. Diferensiasi fungsi komposit (fungsi di dalam fungsi)
y = f(U) y = f {g(x)} = .
y = ( 4 x 3 + 5 ) 2 y ‘ = 2 ( 4 x 3 + 5 ) .12 x 2
= (8 x 3 + 10).12 x 2 = 96 x 5 + 120 x 2

8. Diferensiasi fungsi pangkat
y = u n dimana u = g (x) = n u n – 1 .
y = ( 4 x 3 + 5 ) 2 y’ = 2 ( 4 x 3 + 5 ).12 x 2
= ( 8 x 3 + 10 ).12 x 2 = 96 x 3 + 120 x 2

9. Fungsi Log
y = a log x y ’ =
y = 5 log 2 y’ =

10. Fungsi y = a log u y ‘ = .

11. y = ( a log u) n y ‘ = .


12. y = ln x y ‘ =

13. y = ln u y ‘ = .

14. y = (ln u) n y ‘ = . .

15. y = a x y ‘ = a x ln a

16. y = a 4 y ‘ = a u ln a

17. y = u v y ‘ = v u v-1 . + u v ln u .

18. Fungsi Invers y = f(x) dan x = g(y) adalah fungsi yang saling berbalikan =

Latihan lihat dumairy hal 207 no. 1 s/d no. 10

Turunan pertama = = y ‘
Turunan kedua = = y ‘’
Turunan ketiga = = y ‘’’ dst.

9.3. Hubungan Antar Fungsi dan Derivatifnya

Y = x 3 – 4 x 2 + 12 x – 5 Fungsi kubik
Y ‘ = x 2 – 8 x + 12 Fungsi kuadrat (turunan pertamanya)
Y ‘’ = 2 x – 8 Fungsi linier (turunan keduanya)
Y ‘’’ = 2 Konstanta (turunan ketiganya)


1. Fungsi Menaik dan Menurun pada fungsi non linier

 Turunan pertama dari fungsi non linier dapat dipergunakan untuk menentukan apakah kurvanya menaik atau menurun dan menentukan letak titik ekstrim.

Jika nilai y I > 0 fungsi menaik
Y I < 0 fungsi menurun
Y I = 0 berada pada titik ekstrim
jika f I (a) > 0 untuk x < a
titik ekstrimnya titik maksimum
jika f I (a) < 0 untuk x > a

jika f I (a) > 0 untuk x > a
titik ekstrimnya titik minimum
jika f I (a) < 0 untuk x < a

Contoh :
Y = f (x) = x 3 – 4 x 2 + 12 x – 5
Apakah fungsi menaik atau fungsi menurun pada x = 5 dan x = 7 dan selidiki juga pada x = 6
Y ‘ = f ‘ (x) = x 2 – 8 x + 12
f ‘ (5) = (5) 2 – 8 (5) + 12 = - 3 < 0 maka f (x) tsb. Menurun pada x = 5
f ‘ (7) = (7) 2 – 8 (7) + 12 = 5 > 0 maka f (x) tsb. Menaik pada x = 7
f ‘ (6) = (6) 2 – 8 (6) + 12 = 0 maka f (x) tsb. berada pada titik ekstrim
karena f ’ (x) < 0 untuk x < 6 dan f ’ (x) > 0 untuk x > 6
maka titik ekstrimnya adalah titik minimum

2. Titik Ekstrim Fungsi Parabolik

Fungsi Parabola y = f (x) akan mencapai titik ekstrim pada y ‘ = 0
 Jika y ‘’ < 0 parabola terbuka ke bawah (titik maksimum)
 Jika y ‘’ > 0 parabola terbuka ke atas (titik minimum)

Contoh :
i. y = x 2 – 8 x + 12 y ‘ = 2 x - 8 y ‘’ = 2 > 0 titik minimum
ii. y = - x 2 + 6 x + 4 y ‘ = - 2 x + 6 y ‘’ = - 2 < 0 titik maksimum

3. Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik

Fungsi kubik y = f ( x ) mencapai titik ekstrim pada y ‘ = 0
 Jika y ‘’ < 0 pada y ‘ = 0 titik ekstrimnya maksimum
 Jika y ‘’ > 0 pada y ‘ = 0 titik ekstrimnya minimum

Fungsi kubik ada pada titik belok pada y ‘’ = 0

Contoh :
f (x) = x 3 – 3 x 2 + 8 x – 3  fungsi kubik
Jika y ‘ = 0  x 2 – 6 x + 8 = 0  (x – 2) (x – 4) = 0  x 1 = 2 dan x 2 = 4

 Untuk x = 2  y ‘’ = 2 x – 6 = 2 (2) – 6 = - 2 < 0
 Untuk x = 2  y = f (2) = (2) 3 – 3 (2) 2 + 8 (2) – 3 = 3,67
 maka pada titik (2; 3,67) fungsi tsb. ada pada titik maksimum

 untuk x = 4  y ‘’ = 2 x – 6 = 2 (4) – 6 = 2 > 0
 untuk x = 4  y = f ( 4) = (4) 3 – 3 (4) 2 + 8 (4) – 3 = 2,33
 maka pada titik (4; 2,33) fungsi tsb. ada pada titik minimum

Latihan : dumairy hal 219, 220

9.4. Penerapan Ekonomi Diferensial

1. Elastisitas
 Elastisitas merupakan persentase perubahan y yang disebabkan oleh persentase perubahan x.
Rumus Elastisitas = .
a). Elastisitas Permintaan adalah besarnya perubahan jumlah permintaan barang, akibat adanya perubahan harga.
 Rumus elastisitas permintaan d = .
Elastis jika d > 1
Inelastis jika d < 1
Uniter jika d = 1

 Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang Q = 25 – 3 P 2
Tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 5.
 Jawab : d = . = ( - 6 P ) = - 6 (5) = 3
d = 3 ( elastis ) artinya pada kedudukan harga P = 5, jika harga barang naik sebesar 1 %, maka permintaannya akan turun sebanyak 3 % .

b). Elastisitas Penawaran adalah adalah besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan, jika ada perubahan harga.
 Rumus Elastisitas Penawaran s = .
 Contoh : Fungsi penawaran suatu barang diperlihatkan oleh Q = - 200 + 7 P 2
Tentukan elastisitas penawarannya, pada tingkat harga P = 10
 Jawab : s = . = ( 14 P )
 Pada P = 10 s = (14)(10) = 2,8 ( elastis )
 s = 2,8 artinya pada kedudukan harga P = 10, jika harga barang naik 1 % , maka jumlah barang yang ditawarkan juga akan naik sebanyak 2,8 %.

c). Elastisitas Produksi adalah besarnya perubahan jumlah output yang dihasilkan, karena adanya perubahan jumlah input.
 Rumus Elastisitas Produksi = .
 Contoh : Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan P = 6 X 2 – X3 Hitung elastisitas produksinya, pada tingkat penggunaan faktor produksi (input) sebesar X = 3
 Jawab : s = . = ( 12 X – 3 X 2 )
 Pada X = 3 s = ( 12 . 3 – 3 . 3 2 ) = 1
 s = 1 (uniter) artinya pada tingkat penggunaan input X = 3 , jika input ditambah 1 %, maka jumlah produksi (output) juga akan bertambah 1 %.

2. Biaya Marjinal / Marginal Cost ( MC )

 Biaya Marjinal ( MC ) adalah besarnya biaya yang harus ditambahkan , jika jumlah produksi ditambah 1 unit.
 Rumus biaya marjinal MC = TC I = dan MC minimum jika MC I = 0
 Contoh : Biaya total (TC) = f (Q) = Q 3 – 3 Q 2 + 4 Q + 4
Biaya Marjinal (MC) = TC ‘ = 3 Q 2 – 6 Q + 4
Pada tingkat produksi/ penjualan berapakah biaya marjinal minimum ?
Berapa besarnya biaya marjinal minimum tersebut ?

 Jawab :
MC minimum pad MC ‘ = 0
MC ‘ = 6 Q – 6 = 0 6 Q = 6 Q = 1 MC minimum
MC minimum = 3 Q 2 – 6 Q + 4 = 3 ( 1 ) 2 – 6 ( 1 ) + 4 = 6

 Jadi besarnya biaya marjinal minimum sebesar RP. 6 pada tingkat produksi 1 unit.

3. Penerimaan Marginal / Marginal Revenu (MR)

 Penerimaan Marjinal adalah besarnya tambahan penerimaan, jika jumlah produksi atau barang yang terjual bertambah 1 unit.
 Rumus penerimaan marjinal MR = TR I = dan TR maks. Jika MR = 0

 Contoh : fungsi permintaan suatu barang P = 16 – 2 Q
Berapakah besarnya penerimaan maksimum ?

 Jawab : Fungsi Penerimaan Total (TR) = P.Q = (16 – 2 Q) (Q)
= 16 Q – 2 Q 2
Penerimaan Marjinal (MR) = TR ‘ = 16 – 4 Q
TR akan maksimum jika MR = 0 16 – 4 Q = 0
4 Q = 16 Q = 4
TR Maks = 16 Q – 2 Q 2 = 16 (4) – 2 (4) 2 = 32
 Jadi besarnya penerimaan total maksimum sebesar Rp. 32,00

4. Keuntungan Maksimum ( Maks. )

Fungsi keuntungan = TR – TC dan akan optimum jika I = 0
Jika ’’ < 0 maksimum = keuntungan maksimum
Jika ’’ > 0 minimum = kerugian maksimum

Contoh : jika fungsi penerimaan TR = - 2 Q 2 + 1000 Q
Dan fungsi biaya total TC = Q 3 – 59 Q 2 + 1315 Q + 2.000
Berapakah tingkat keuntungan maksimum ?

Jawab :
= TR – TC
= (- 2 Q 2 + 1000 Q) – (Q 3 – 59 Q 2 + 1315 Q + 2.000)
= - Q 3 + 57 Q 2 - 315 Q – 2.000

Keuntungan maks ’ = 0

’ = - 3 Q 2 + 114 Q – 315 = 0 - Q 2 + 38 Q – 105 = 0
( - 3 Q + 3 ) ( Q – 35 ) = 0
Q = 1

5. Utilitas Marginal MU  U I = MU = 0  U maksimum

6. Produk Marginal MP  P I = MP = 0  P maksimum

P Pada titik belok > jika MP I = 0, MP maks