BAB V. HUBUNGAN FUNGSIONAL

5.1. Pengertian dan Unsur-Unsur Fungsi

FUNGSI adalah
 Relasi yang memetakan setiap anggota domain satu kali dengan anggota kodomain.
 Suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan antara satu variable dengan variable lain.

Fungsi f : A -------- B A : domain ( wilayah )
B : Kodomain ( jangkauan / range )

Sebuah fungsi dinyatakan dalam bentuk : - Persamaan
- Pertidaksamaan
 Unsur pembentuk fungsi :
- Variabel
- Koefisien
- Konstanta ( bisa ada atau tidak )
-
Notasi sebuah fungsi secara umum : y = f (x)
Contoh kongkretnya : y = 5 + 0,8 x

 Variabel bebas ( x ) dan variable tak bebas ( y )
 Koefisien : bilangan yang ada di depan variable gradien atau lereng atau slope.
 Konstanta : bilangan yang tidak terkait dengan suatu variable tertentu.

5.2. Jenis-Jenis Fungsi dan Cara Menggambar Fungsi

1. F. Polinom : mengandung banyak suku variable bebasnya

Y = a + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x 3 + ….. + b n x n

2. F. Linier : variabelnya berpangkat Satu

Y = a + b x

3. F. Kuadrat : fungsi polinom yang pangkat tertingginya berderajat dua

Y = a + b 1 x + b 2 x 2

4. F. Berderajat n : fungsi yang pangkat tertingginya berderajat n

Y = a + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x 3 + ….. + b n x n

5. F. Pangkat : fungsi yang variable bebasnya berpangkat sebuah bilangan nyata

Y = x n

6. F. eksponensial : yang variable bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol

Y = n x , dimana n > 0

7. F. Logaritmik : fungsi inverse ( balik ) dari fungsi eksponensial

Y = n log x

8. F. Trigonometrik dan F. Hiperbolik : yang variable bebasnya merupakan bilangan goneometrik

Y = sin 5x  Fungsi Trigonometrik
Berdasar letak ruas variabelnya, fungsi dibagi 2 yaitu :

1. Fungsi Eksplisit : fungsi yang variable bebas dan variable tak bebasnya terletak pada ruas yang berlainan

Y = f ( x )  Y = a + b 1 x + b 2 x 2

2. Fungsi Implisit : Fungsi yang variable bebas dan variabel tak bebasnya terletak pada satu ruas, dikiri semua atau di kanan semua.

0 = f ( x , y )  0 = a – y + b 1 x y + b 2 x 2

Cara menunjukkan fungsi ada 3 :

 Cara lambang  y = f ( x ) = 8 – 2 x

 Cara daftar lajur
X 0 1 2 3 4
y 8 6 4 2 0

F (x) = 8 – 2x Titik koordinat
F (0) = 8 – 2 (0) = 8  ( 0, 8 )
F (1) = 8 – 2 (1) = 6  ( 1, 6 )
F (2) = 8 – 2 (2) = 4  ( 2, 4 )
F (3) = 8 – 2 (3) = 2  ( 3, 2 )
F (4) = 8 – 2 (4) = 0  ( 4, 0 )

 Cara Grafik ( hanya untuk fungsi yang bisa dieksplisitkan )


contoh : y = 8 - 2 x

X 0 1 2 3 4
y 8 6 4 2 0











Tugas Rumah:

1. Gambarkan titik berikut pada sistem sumbu koordinat
A (3, 4) ; B (3, - 4) ; C ( - 3, - 2) ; D (- 4, 2)
2. Tunjukkan titik berikut ada pada garis lurus
( 0, 8 ) ; ( 2, 4 ) ; ( 4 , 0 ) dan ( 6, - 4 )
3. Jika f (x) = 9 – x 2 , berapakah nilai f (0) ; f (2) ; f (- 2) ; f (3)
4. Buatlah daftar lajur dan gambar dari fungsi non linier berikut :
a). y = 9 – 4 x + x 2
b). y = - 2 + 4 x 2 – x 3
c). x = 8 – 2 y – y 2







BAB VI. FUNGSI LINIER ( Fungsi Berderajat Satu )

6.1. Pengertian Fungsi Linier

Fungsi Linier adalah fungsi yang variabelnya mempunyai pangkat tertinggi adalah pangkat satu dan jika digambar membentuk garis lurus.

Bentuk Umum fungsi linier : y = a + b x atau a + b x - y = 0

Dimana : a = konstanta atau penggal pada sumbu y
b = koefisien arah atau lereng garis atau tangen atau slope

Dalam persamaan linier, nilai lereng ( y / x = b ) selalu tetap

Suatu garis lurus akan sejajar dengan sumbu x atau sumbu y jika b = 0








6.2. Pembentukan Persamaan Linier

Sebuah persamaan linier bisa dibentuk dari 4 cara :
 Dwi koordinat
 Koordinat – Lereng
 Penggal – Lereng
 Dwi penggal

a. Cara Dwi Koordinat ( 2 titik )

Jika diketahui 2 titik A (x1 ; y1) dan titik B (x2 ; y2), maka rumus persamaan garis lurusnya adalah :

Y – Y1 = x – x1
Y2 – Y1 x2 – x1

Contoh : buatlah persamaan qaris lurus dari dua titik berikut ini
A ( 2 , 3 ) dan B ( 6 , 5 )
x1 y1 x2 y2
=
=
=
4 ( y – 3 ) = 2 ( x – 2 )
4 y – 12 = 2 x – 4
4 y = 2 x – 4 + 12
4 y = 2 x + 8
y = x + 2
b. Cara Koordinat – Lereng

Jika diketahui sebuah titik A ( x1 ; y1 ) dengan lereng garisnya atau kemiringan garis adalah b, maka rumus persamaan garis lurusnya adalah

y – y1 = b ( x – x1 ) atau

Contoh: Persamaan garis lurus yang melalui titik A (2,3) dan lereng b = 0,5 adalah

y – y1 = b (x – x1)
y – 3 = 0,5 (x – 2) y – 3 = 0,5x – 1
y = 0,5x – 1 + 3
y = 0,5x + 2

c. Cara Penggal – Lereng

Jika diketahui penggal salah satu sumbu adalah a dan lerengnya adalah b, maka rumus persamaan garis lurusnya adalah

Y = a + b x

d. Cara Dwi Penggal

Jika diketahui penggal pada sumbu Vertikal y ketika x = 0 adalah a dan penggal pada sumbu horizontal x ketika y = 0 adalah c, maka rumus persamaan garis lurusnya adalah :
Y = a –

Contoh : jika penggal sebuah garis lurus pada sumbu vertikal adalah 2 dan sumbu horizontal adalah - 4 maka persamaan garis lurusnya adalah

y = a –
y = 2 – y = + 2

Gambar garis lurus yang dibentuk oleh keempat cara tersebut minta mahasiswa untuk mencoba menggambarnya

6.3. Hubungan Dua Garis Lurus

Dua buah garis lurus mempunyai 4 kemungkinan bentuk hubungan yaitu :
1. Berimpit
2. Sejajar
3. Berpotongan
4. Saling Tegak lurus

1). Berimpit

dua buah garis lurus akan berimpit jika persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari (secara proporsional terhadap) persamaan garis lainnya.

Dua buah garis lurus y1 = a 1 + b 1 x dan y 2 = a 2 + b 2 x akan berimpit jika

Y 1 = n y 2 contoh dua garis lurus yang berimpit :
y = 0,5 x + 2 dengan 2 y = x + 4


a 1 = n a 2
b 1 = n b 2






2). Sejajar

dua buah garis lurus akan sejajar jika lereng grs yang satu sama dengan lereng grs yang lain.

Y = a 1 + b 1 x dan y = a 2 + b 2 x akan sejajar jika :
a 1  a 2
b 1 = b 2
contoh : dua garis lurus y = 0,5 x + 2 dengan y = 0,5 + 4 akan sejajar

3). Berpotongan

dua buah garis lurus akan berpotongan jika lereng garis yang satu tidak sama dengan lereng garis yang lain.

y = a 1 + b 1 x dan y = a 2 + b 2 x akan berpotongan jika b 1  b 2

Contoh : y = 0,5 x + 2 dengan y = 2 x + 3
4). Tegak Lurus

Dua garis lurus, akan saling tegak lurus jika lereng grs yang satu merupakan kebalikan dari lereng grs yang lain dengan tanda yang berlawanan .

y = a 1 + b 1 x dan y = a 2 + b 2 x akan tegak lurus jika :

b 1 = - 1 atau b 1 . b 2 = - 1
b 2
contoh : y = + 2 dan y = -2x + 4

latihan : UT hal 73 ; tugas UT hal 79

6.4. Pencarian Akar-Akar Persamaan

yaitu menghitung besarnya nilai variable-variabel ( misal y , x ) dalam persamaan tersebut.
Pencarian nilai variabel dari persamaan – persamaan linier secara simultan dapat dilakukan melalui 3 cara yaitu
 SUBSTITUSI
 ELIMINASI
 DETERMINASI

 Cara Substitusi

Menyelesaikan dahulu satu persamaan untuk satu variable, lalu menstubstitusikan /memasukkan ke persamaan yang lain

Contoh : dari dua persamaan linier berikut 2x + 3y = 21
dan x + 4y = 23 carilah nilai variable x dan y

x + 4y = 23
x = - 4y + 23 masukkan ke 2x + 3y = 21
2 (- 4y + 23) + 3y = 21
- 8y + 46 + 3y = 21
- 5y = 21 – 46
- 5y = - 25
y = = 5 y = 5 (masukkan dalam salah satu persamaan semula)
x + 4y = 23
x + 4(5) = 23
x + 20 = 23
x = 23 – 20 x = 3

 Cara Eliminasi

Yaitu dilakukan dengan cara menghilangkan sementara salah satu variable sehingga diperoleh nilai variable yang lain,
lalu substitusikan ke dalam salah satu persamaan semula.

Contoh : 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23
Cara : 2x + 3y = 21 [x1]  2x + 3y = 21
x + 4y = 23 [x2]  2x + 8y = 46 _
-5 y = - 25
y = = 5  y = 5
karena nilai y = 5 , masukkan ke dalam pers 2x + 3y = 21
2 x + 3 (5) = 21
2 x + 15 = 21
2 x = 21 – 15
2 x = 6
x = = 3  x = 3

 Cara Determinasi

Cocok untuk mencari nilai variable-variabel yang banyaknya lebih dari 2 variabel
ax + by = c
dx + ey = f

x = = =
y = = =
cara menghitung determinan 3 variabel
a x + b y + c z = k
d x + e y + f z = L
g x + h y + i z = m

a b c = aei + bfg + chd – gec – dbi – afh
Du = d e f
g h i

Dx = k b c = keI + bfm + chL – mec – Lbi – kfh
L e f
m h i

Dy = a k c = aLi + kfg + cmd – gLc – dki – afm
d L f
g m i

a b k = aem + bLg + khd – gek – dbm – aLh
Dz = d e L
g h m

x = Dx y = Dy z = Dz
Du Du Du