BAB VIII. FUNGSI NON LINIER

8.1. Pendahuluan

Fungsi non linier merupakan model yang tidak kalah pentingnya dibandingkan dengan fungsi linier dalam penerapan ekonomi, karena sebagian dari model ekonomi linier yang ada, sesungguhnya merupakan linierisasi dari model non linier.
Ada 4 macam bentuk fungsi non linier yang paling sering dijumpai dalam analisis ekonomi, yaitu : - Fungsi Kuadrat
- Fungsi Kubik
- Fungsi Eksponensial
- Fungsi Logaritma
Diantara ke empat fungsi nonlinier tersebut yang paling sering digunakan adalah fungsi kuadrat.

8.2. Fungsi Kuadrat

Fungsi Kuadart adalah fungsi yang mempunyai pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua.
Gambar fungsi kuadrat bisa berupa : - Lingkaran
- Elips
- Parabola
- Hiperbola
Tetapi dalam penerapan ekonomi, yang paling sering digunakan adalah fungsi kuadrat yang berbentuk PARABOLA.

Bentuk yang lebih umum dari fungsi kuadrat :

a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + p X Y + e = 0
dimana a atau b  0

sebuah fungsi kuadrat jika mempunyai ciri-ciri berikut ini maka :
Jika p = 0 dan a = b  0 bentuk kurvanya Lingkaran
p 2 – 4 a b < 0 ; a  b dan tanda sama bentuk kurvanya Elips
p 2 – 4 a b > 0 ; a & b tanda berlawanan bentuk kurvanya Hiperbola

p 2 – 4 a b = 0 bentuk kurvanya Parabola
berati jika salah satu saja yaitu jika a = 0 atau b = 0 tetapi tidak keduanya, maka kurvanya akan berbentuk Parabola

 LINGKARAN

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak tetap terhadap sebuah titik tertentu yang disebut pusat.
Bentuk umum persamaan lingkaran :

a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0

Lalu ubah bentuk persamaan menjadi ( X – i ) 2 + ( Y – j ) 2 = r 2
Dimana : i = ; j = dan r =
Maka i = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu Y
j = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu X
r = jari-jari lingkaran

Lingkaran bisa digambarkan jika nilai r 2 > 0
Titik potong lingkaran pada sumbu koordinat dapat dicari dengan memisalkan masing-masing X = 0 dan Y = 0 secara bergantian.
Jika i > r  lingkaran tidak memotong sumbu Y
j > r  lingkaran tidak memotong sumbu X

Contoh :
3 X 2 + 3 Y 2 – 24 X – 18 Y = 33 : 3
X 2 + Y 2 – 8 X – 6 Y = 11
i = = = 4 j = = = 3
dan r = = = = 6
jadi lingkaran tersebut mempunyai titik pusat pada sumbu koordinat
( 4 ; 3 ) dengan jari-jari lingkaran = 6













 ELIPS

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Elips mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus. Sumbu yang panjang disebut Sumbu Mayor. Dan yang pendek disebut Sumbu Minor. Titik potong antara kedua sumbu elips tersebut merupakan pusat elips ybs.

Bentuk Umum Persamaan Elips :
a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0

dimana : a tandanya sama dengan b tetapi nilai a b

Pusat dan jari-jari elips dirumuskan sebagai berikut :
jika r = r maka akan menjadi lingkaran.

Contoh :
Tentukan pusat , jari-jari dan perpotongan kurva elips dengan masing-masing sumbu koordinatnya ( sumbu X dan Y ) dari persamaan elips berikut :

8 X 2 + 2 Y 2 - 32 X - 12 Y + 18 = 0 : 2
4 X 2 + Y 2 - 16 X - 6 Y = - 9
4 X 2 - 16 X + Y 2 - 6 Y = - 9
4 X 2 - 16 X + k + Y 2 - 6 Y + k = - 9 + k + k
(4 X 2 - 16 X + 16) + (Y 2 - 6 Y + 9) = - 9 + 16 + 9
4 (X – 2) 2 + (Y – 3) 2 = 16 : 16
+ = 1  + = 1
Dengan demikian : i = 2 dan j = 3 r = 2 dan r = 4
Berarti : pusat elips ada pada titik ( 2 ; 3 )
Karena r < r maka sumbu mayor elips // sumbu vertikal Y
r adalah jari-jari pendek dan r adalah jari-jari panjang

Hitunglah : pada titik koordinat berapakah terjadi perpotongan kurva elips dengan sumbu X dan sumbu Y.











 HIPERBOLA

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Hiperbola mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus dan sepasang asimtot. Perpotongan antara sumbu-sumbu simetri (antara asimtot-asimtot) merupakan pusat hiperbola.

Bentuk umum persamaan hiperbola :

a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0 ; dimana a dan b berlawanan tanda

Pusat hiperbola dapat dicari dengan cara :

dimana sumbu lintang // sumbu X

atau dimana sumbu lintang // sumbu Y

dimana ( i , j ) adalah koordinat titik pusat hiperbola

Jika nilai m = n maka asimtotnya akan saling tegak lurus, dan sumbu lintangnya tidak lagi sejajar salah satu sumbu koordinat, dan hiperbolanya disebut hiperbola sama sisi.

 PARABOLA

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direktriks. Setiap parabola mempunyai sebuah sumbu simetri dan sebuah titik ekstrim.






Persamaan parabola :

 y = a X 2 + b X + c jika sumbu simetri // sumbu vertikal (sumbu y)
 X = a Y 2 + b Y + c jika sumbu simetri // sumbu horisontal (sumbu x)

X Y
Titik Ekstrim :
Jarak titik ekstrim Jarak titik ekstrim
Pada sumbu Y pada sumbu X

Contoh : Tentukan titik ekstrim dan perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu x dan y) dari parabola berikut :
Y = - X 2 + 6 X – 2

Sumbu simetri sejajar sumbu Y
Karena nilai a = - 1 < 0 ; maka parabolanya menghadap ke bawah.
Titik ekstrimnya terletak di atas atau titik maksimum, dengan titik
koordinat :

= = = ( 3 , 7 )

Perpotongan dengan sumbu Y terjadi pada saat X = 0  Y = - 2

Perpotongan dengan sumbu X terjadi pada saat Y = 0 

0 = - X 2 + 6 X – 2

Dengan menggunakan rumus a b c diperoleh

X = 5,65 dan X = 0,35

y
(3,7)
7


y = -x2 + 6x - 22

x = 3 sumbu simetri

x
0 0,35 3 5,65

-2

Latihan : Pada Buku Dumairy hal 141 – 142
Nomor : 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 9 ; 10





8.2. Penerapan Ekonomi Fungsi Non Linier

1. Fungsi Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar


Analisisnya sama dengan persamaan
Linier, hanya bentuk fungsinya tidak
Linier.


Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan  Q d = 19 – P 2
Q s = - 8 + 2 P 2
 Berapa harga keseimbangan dan jumlah barang keseimbangan ?
Jawab : titik Keseimbangan terjadi pada saat Q d = Q s
19 – P 2 = - 8 + 2 P 2
19 + 8 = 2 P 2 + P 2
27 = 3 P 2
P 2 = 9  P =  9 =  3
Jika nilai P = 3  Q = 19 – P 2 = 19 – 3 2 = 19 – 9 = 10
Jadi harga yang terjadi pada titik keseimbangan Rp 3,00 dan jumlah permintaan pada titik keseimbangan 10 unit.

 Jika dikenakan pajak spesifik ( pajak tetap ) sebesar t = 1
 Berapa harga dan jumlah barang pada titik keseimbangan?

Fungsi penawaran setelah pajak Q s = - 8 + 2 ( P – t ) 2
Q s = - 8 + 2 ( P – 1) 2
Q s = - 8 + 2 ( P 2 – 2 P + 1 )
Q s = - 8 + 2 P 2 – 4 P + 2
Q s = - 6 + 2 P 2 – 4 P
Titik keseimbangan setelah kena pajak  Q d = Q s yg baru
19 – P2 = - 6 + 2 P2 – 4 P
0 = 2 P2 + P2 – 4 P – 6 – 19
0 = 3 P2 – 4 P – 25  3 P2 – 4 P – 25 = 0
Untuk mencari nilai P gunakan rumus abc  X 12 =
P12 =  P12 =

P12 =  P12 =  P1 = = 3,63 (yang dipilih)
 P2 = = - 2,2967
Q d = 19 – P 2 = 19 – ( 3,63 ) 2 = 19 – 13,1769 = 5,8231 6

Jadi harga keseimbangan setelah ada pajak Rp. 3,63 dan jumlah permintaan setelah ada pajak 6 unit

2. Penerapan Fungsi non Linier dari Fungsi Biaya

Bentuk non linier dari fungsi biaya  Fungsi Parabola
 Fungsi Kubik
 Biaya Tetap ( FC ) = konstanta
 Biaya Variabel ( VC ) = f ( Q )
 Biaya Total ( TC )  C = FC + VC = k + f ( Q )
 Biaya Marginal =
a). Fungsi Biaya Total  TC = a Q 2 – b Q + c  Fungsi Parabola












b). Fungsi Biaya Total  TC = a Q 3 – b Q 2 + c Q + d  Fungsi Kubik





Kasus : Biaya total TC = 2 Q 2 – 24 Q + 102 Parabola
 Pada tingkat produksi berapa unit, biaya total ini minimum ?
 Hitung biaya total minimum ?
 Hitung biaya tetap, biaya variabel, biaya rata-rata, Biaya tetap rata-rata, biaya variable rata-rata ?
 Jika produksi dinaikkan sebesar 1 unit, berapa besarnya biaya marginal ?
TC minimum titik ekstrim parabola
Q pada TC minimum = = = = 6 unit
TC (Biaya Total) pada produksi minimum = 2 Q 2 – 24 Q +102
= 2 (6) 2 – 24 (6) + 102 = 30
TC minimum pada ordinat titik ekstrim parabola.
TC total minimum = = = 30
Pada Q = 6
FC = 102
VC = 2Q 2 – 24Q = 2 ( 6 ) 2 – 24 ( 6 ) = - 72

3. Fungsi Penerimaan, Keuntungan dan Kerugian serta Titik Impas dari Fungsi Non Linier

Fungsi penerimaan bentuk umum fungsi parabola menghadap ke bawah pada Produsen di pasar monopoli.
Sedang bentuk fungsi penerimaan akan linier untuk produsen di pasar persaingan sempurna

TR = Q X P = f (Q) total penerimaan
= AR rata-rata penerimaan
= MR penerimaan marginal












Dimana T I = titik impas
Besar kecilnya keuntungan diperlihatkan oleh besar kecilnya selisih, positif antara TR dan C
Keuntungan maximum tidak selalu terjadi pada saat TR maksimum.

Contoh : Fungsi permintaan yang dihadapi seorang produsen monopolis P = 30 – 1,5 Q.
 Bagaimana persamaan penerimaan totalnya ?
 Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum dan berapa besarnya penerimaaan total ?

TR = Q x P = Q x ( 30 – 1,5 Q ) = 30 Q – 1,5 Q 2 parabola
TR Maksimum pada titik ekstrim parabola
TR Maks pada Q = = = = 10
TR Maks 30 Q – 1,5 Q 2
30 (10) – 1,5 (102) = 300 – 150 = 150  bisa juga dari rumus ( )
 Jika biaya total diperlihatkan oleh TC = 0,25 Q 3 – 3 Q 2 + 7Q + 20
Hitunglah ke an perusahaan, jika terjual barang sebanyak 10 dan 20 unit.
= TR - TC
= ( 30 Q – 1,5Q 2 ) – ( 0,25 Q 3 – 3 Q 2 + 7Q + 20 )
= 30 Q – 1,5 Q 2 - 0,25 Q 3 + 3 Q 2 - 7Q – 20
= - 0,25 Q 3 + 1,5 Q 2 + 23 Q – 20

Pada saat Q = 10 = - 0,25 (10) 3 + 1,5 (10) 2 + 23 (10) – 20
= - 250 + 150 + 230 – 20
= 110

 Jadi keuntungan perusahaan, jika barang terjual sebanyak 10 unit adalah sebesar Rp. 110,00
Pada saat Q = 20 = - 0,25 (20) 3 + 1,5 (20) 2 + 23 (20) – 20
= - 2000 + 600 + 460 – 20
= - 960

 Jadi perusahaan jika barang terjual sebanyak 20 unit, maka perusahaan akan rugi sebesar Rp. 960,00

4. Fungsi Eksponensial

 Kurvanya ada di kuadran I dan II pada sistem koordinat
Bentuk sederhana : y = n x n > 0
Bentuk umum : n e k x + C n 0 k,c = konstanta
Kurvanya asimtotik terhadap garis y = c

Titik potong kurva eksponensial = y = n e k x + C






Pada sumbu x { ln ; 0 } dimana y = 0
Pada sumbu y { 0 ; n + c } dimana x = 0

Contoh : - Tentukan titik potong kurva ekponensial y = 2 e 0,5 x – 4 pada masing-masing sumbu koordinat dan gambarkan kurvanya
- Hitunglah f (3)
Titik potong sumbu x l n = 2 ln = 2 (0,69) = 1,39.
Titik potong sumbu y n + c = 2 – 4 = - 2
Nilai f (3)  X = 3 y = 2 e 0,5 (3) – 4 y = 2 e 1,5 – 4
y = 2 (4,48) – 4 = 4,96










5. Fungsi Logaritmik

Merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial, yang variable bebasnya merupakan bilangan logaritma
Bentuk sederhana : y = n log x n > 0
n 0
Bentuk umum : y = a ln (1+x) + b x > -1
Kurvanya ada disebelah kanan dan asimtotik terhadap garis x = -1
Titik potong dengan sumbu –x ; y = 0 { e – ( ) – 1 ; 0 }
Titik potong dengan sumbu – y ; x = 0 { 0 ; b }






latihan : Tentukan titik potong kurva logaritmik y = 2 ln ( 1 + x ) + 6
Hitunglah f (4)

 PENERAPAN EKONOMI Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritmik

Biasanya digunakan untuk menganalisis masalah pertumbuhan. Meskipun demikian kurva permintaan, penawaran, biaya dan penerimaan juga bisa dianalisis dengan fungsi ekponensial dan fungsi logaritmik Untuk itu analisisnya sama dengan fungsi linier yang berbeda hanya bentuk fungsinya saja.

a) Model Bunga Majemuk : Fn = P ( 1 + ) m.n merupakan fungsi eksponsial.

Fn = jumlah pinjaman / tabungan
P = jumlah pada tahun awal ( ke nol )
i = Hitungan bunga per tahun
m = frekuensi pembayaran per tahun
n = jumlah tahun

Jika bunga diperlakukan harian (m = 360) maka model tersebut menjadi : Fn = Pe m e 2,7278

Contoh hal 166

b) Model pertumbuhan
Pt = P1 R t -1 R = 1 + r
Pt = jumlah penduduk pada periode ke t
P1 = jumlah penduduk pada periode ke 1
r = persentase pertumbuhan persalinan waktu

Contoh : hal 167